高中奥数 2022-03-29

2022-03-29 本文已影响0人不为竞赛学奥数

构造图形

如果问题条件中的数量关系有明显的几何意义或以某种方式可与几何图形建立联系,那么通过作图构造图形,将题设的条件及数量关系直接在图形中得到实现,然后在构造的图形中寻求所证的结论.

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（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷不等式的解题方法与技巧苏勇熊斌证明不等式的基本方法 P075 例08）

求证:对任意实数 $x$ ,均有
$\left|\sqrt{x^{2}+x+1}-\sqrt{x^{2}-x+1}\right|<1.$
证明

因为
$\begin{aligned} &\left|\sqrt{x^{2}+x+1}-\sqrt{x^{2}-x+1}\right|\\ =&\left|\sqrt{\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^{2}+\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}}-\sqrt{\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^{2}+\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}}\right|. \end{aligned}$
上式可看作直角坐标系中点 $P\left(t,\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$ 到点 $A\left(-\dfrac{1}{2},0\right)$ 与点 $B\left(\dfrac{1}{2},0\right)$ 的距离的差,如图所示.

图1

根据三角形两边之差小于第三边及 $AB=1$ ,得
$\left|\sqrt{x^{2}+x+1}-\sqrt{x^{2}-x+1}\right|<1.$

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（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷不等式的解题方法与技巧苏勇熊斌证明不等式的基本方法 P075 例09）

设 $x$ 、 $y$ 、 $z$ 为实数, $0<x<y<z<\dfrac{\pi}{2}$ ,求证:
$\dfrac{\pi}{2}+2\sin x\cos y-2\sin y\cos z>\sin 2x+\sin 2y+\sin 2z.$

证明

原不等式等价于
$\dfrac{\pi}{4}>\sin x\left(\cos x-\cos y\right)+\sin y\left(\cos y-\cos z\right)\cdot \sin z\cos z.$
构造图形如图所示.圆 $O$ 是单位圆, $S_{1}$ 、 $S_{2}$ 、 $S_{3}$ 分别是三个小矩形的面积,则

图2

$\begin{aligned} &S_{1}=\sin x\left(\cos x-\cos y\right),\\ &S_{2}=\sin y\left(\cos y-\cos z\right),\\ &S_{3}=\sin z\cos z. \end{aligned}$
由于 $S_{1}+S_{2}+S_{3}<-\dfrac{1}{4}\cdot \pi\cdot 1^{2}=\dfrac{1}{4}\pi$ ,故有
$\dfrac{\pi}{4}>\sin x\left(\cos x-\cos y\right)+\sin y\left(\cos y-\cos z\right)+\sin \pi\cos ,z$
故原不等式成立.

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（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷不等式的解题方法与技巧苏勇熊斌证明不等式的基本方法 P076 例10）

设 $x$ 、 $y$ 、 $a$ 、 $\aleph$ 、 $\beta$ 、 $\gamma$ 为正数, $\aleph$ 、 $\beta$ 、 $\gamma$ 中任意两数之和大于第三个且属于区间 $\left[0,\pi\right)$ ,求证:
$\sqrt{x^{2}+y^{2}-2xy\cos \alpha}+\sqrt{y^{2}+y^{2}-2yz\cos \beta}\geqslant \sqrt{z^{2}+x^{2}-2zx\cos \gamma}.$

分析不等式中的项让我们联想到余弦定理的形式,提示我们去构造一些三角形.

证明

因为 $\alpha<\beta+\gamma< \pi$ , $\beta<\gamma+\alpha<\pi$ , $\gamma<\alpha+\beta<\pi$ ,

故从空间一点 $P$ 可作一个三角面 $P-ABC$ 使得:
$\begin{aligned} &\angle APB=\alpha,\\ &\angle BPC=\beta,\\ &\angle CPA=\gamma;\\ &PA=x,\\ &PB=y,\\ &PC=z. \end{aligned}$

图3

这样一来,利用 $AB+BC\geqslant AC$ ,有原不等式成立.

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（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷不等式的解题方法与技巧苏勇熊斌证明不等式的基本方法 P076 例11）

已知 $\left|u\right|\leqslant \sqrt{2}$ , $v$ 是正实数,求证:
$S=\left(u-v\right)^{2}+.\left(\sqrt{2-u^{2}}-\dfrac{9}{v}\right)^{5}\geqslant 8S=(u-v)2+(√2≥8.$

证明

关键是看出 $S$ 的表达式恰为直角坐标系中点 $A\left(u,\sqrt{2-u^{2}}\right)$ 与 $B\left(u,\dfrac{9}{v}\right)$ 点之间距离的平方.

显然,点 $A$ 在圆 $x^{2}+y^{2}=2$ 上,点 $B$ 在双曲线 $xy=9$ 上.因此,问题就转化为求圆 $x^{2}+y^{2}=2$ 到双曲线 $xy=9$ 之间的最短距离,在图形上易见此最短距离即点 $A\left(1,1\right)$ 与B $\left(3,3\right)$ 的距离,长为 $2\sqrt{2}$ .

所以 $S$ 的最小值为 $\left(2\sqrt{2}\right)^{2}=8$ .

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构造图形

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