正弦函数嵌套迭代收敛到 0，是怎么证明的？

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2022.09.21 Wednesday @BJ

考虑数列 $x_{n+1}=\sin(x_n), x_0 \in (0,1)$ , 利用单调有界数列有极限， $\sin$ 是连续函数，以及 $x=\sin(x)$ 只有 $x=0$ 这一个解，可知 $x_n$ 收敛到 0。

有没有直接利用定义来证明的呢？

一个思路是将 $\sin(x)$ 缩放一下，比如利用 $\sin(x) \le x - \frac{x^3}{8}, x \in (0,1)$ 。将正弦改成多项式，操作起来会简单一些。具体思路和下面这个例子的一样：

$a_{n+1}=a_n (1-a_n), a_0 \in (0,1)$ , 收敛到 0。

这是因为
$\frac{1}{a_{n+1}} =\frac{1}{a_{n}}+\frac{1}{1-a_{n}} \ge \frac{1}{a_{n}} +1 \ge ... \ge n+1.$
所以 $a_n \le \frac{1}{n}$ 。利用极限的定义可知 $a_n$ 收敛到 0.

你还有别的证明思路么？欢迎交流~