利用直线斜率法求三角函数的最值

2020-08-03 本文已影响0人天马无空

直线斜率法求三角函数的最值

使用情景：函数表达式可化为斜率形式的式子

解题模板：

第一步先将所给的函数式转化为直线的斜率形式；

第二步找到直线过的定点和动点，研究动点所在的曲线的轨迹方程.

第三步结合动点的运动轨迹，求出直线斜率的范围，即函数的取值范围.

例3 求函数 $y=\dfrac{2-\sin x}{2-\cos x}$ 的最值.

【解析】设 $A(2,2)$ ， $P(\cos x,\sin x)$

则 $k_{PA}=\dfrac{2-\sin x}{2-\cos x}$ ，即 $k_{PA}$ 为过 $A$ , $P$ 两点的斜率.

所以要求函数 $y=\dfrac{2-\sin x}{2-\cos x}$ 的最值，

只要求直线 $PA$ 的斜率 $k_{PA}$ 的最值即可.

因为 $\sin ^2 x+\cos^2 x=1$ ，所以 $P(\cos x,\sin x)$ 在单位圆上.

因为直线 $PA$ 的方程为： $y=k_{PA}(x-2)-2$ ，

所以直线 $PA$ 与单位圆相切时，斜率 $k_{PA}$ 取得最值.

由 $\dfrac{2-k_{PA}}{\sqrt{1-k_{PA}^2}}=1$ ，解得 $k_{PA}=\dfrac{4\pm\sqrt{7}}{3}$ ，

所以 $y=\dfrac{2-\sin x}{2-\cos x}$ 的最大值为 $\dfrac{4+\sqrt{7}}{3}$ ，最小值为 $\dfrac{4-\sqrt{7}}{3}$ .