最小生成树

一、Prim算法

算法思路：

1. 定义2个数组; adjvex ⽤来保存相关顶点下标; lowcost 保存顶点之间的权值
2. 初始化2个数组, 从v0开始寻找最⼩⽣成树, 默认v0是最⼩⽣成树上第⼀个顶点
3. 循环lowcost 数组,根据权值,找到顶点 k;
4. 更新lowcost 数组
5. 循环所有顶点,找到与顶点k 有关系的顶点. 并更新lowcost 数组与adjvex 数组;
   注意:
   更新lowcost 数组与adjvex 数组的条件:
6. 与顶点k 之间有连接
7. 当前结点 j 没有加⼊过最⼩⽣成树;
8. 顶点 k 与 当前顶点 j 之间的权值 ⼩于 顶点j 与其他顶点 k 之前的权值. 则更新.
   简单说就是要⽐较之前存储的值要⼩,则更新;

图片.png

通过邻接矩阵实现，下面是基本数据结构

#define MAXEDGE 20
#define MAXVEX 20
#define INFINITYC 65535

typedef int Status;    /* Status是函数的类型,其值是函数结果状态代码，如OK等 */

typedef struct
{
    int arc[MAXVEX][MAXVEX];
    int numVertexes, numEdges;
}MGraph;

prim生成最小生成树

void MiniSpanTree_Prim(MGraph G)
{
    int min, i, j, k;
    int sum = 0;
    int adjvex[MAXVEX]; //保存相关顶点下标
    int lowcost[MAXVEX]; //保存相关顶点间边的权值
    
    //初始化第一个权值为0，即v0加入生成树
    //lowcost的值为0，在这里就是此下标的顶点已经加入生成树
    lowcost[0] = 0;
    
    //初始化第一个顶点下标为0
    adjvex[0] = 0;
    
    //1. 初始化
    //循环除下标为0外的全部顶点
    for(i = 1; i < G.numVertexes; i++)
    {
        // 将v0顶点与之有边的权值存入数组
        lowcost[i] = G.arc[0][i];
        adjvex[i] = 0;//初始化都为v0的下标
    }
    
    //2. 循环除了下标为0以外的全部顶点, 找到lowcost数组中最小的顶点k
    for(i = 1; i < G.numVertexes; i++)
    {
        //初始化最小权值为无穷大∞，通常设置为不可能的大数字如32767、65535等
        min = INFINITYC;
        
        j = 1;k = 0;
        //循环全部顶点
        while(j < G.numVertexes)
        {
            //如果权值不为0且权值小于min
            if(lowcost[j]!=0 && lowcost[j] < min)
            {
                //则让当前权值成为最小值,更新min
                min = lowcost[j];
                //将当前最小值的下标存入k
                k = j;
            }
            j++;
        }
        
        /* 打印当前顶点边中权值最小的边 */
        printf("(V%d, V%d)=%d\n", adjvex[k], k ,G.arc[adjvex[k]][k]);
        sum+=G.arc[adjvex[k]][k];
        
        //3.将当前顶点的权值设置为0,表示此顶点已经完成任务
        lowcost[k] = 0;
        
        /* 循环所有顶点,找到与顶点k 相连接的顶点
         1. 与顶点k 之间连接;
         2. 该结点没有被加入到生成树;
         3. 顶点k 与 顶点j 之间的权值 < 顶点j 与其他顶点的权值,则更新lowcost 数组;
         
         */
        for(j = 1; j < G.numVertexes; j++)
        {
            /* 如果下标为k顶点各边权值小于此前这些顶点未被加入生成树权值 */
            if(lowcost[j]!=0 && G.arc[k][j] < lowcost[j])
            {
                /* 将较小的权值存入lowcost相应位置 */
                lowcost[j] = G.arc[k][j];
                /* 将下标为k的顶点存入adjvex */
                adjvex[j] = k;
            }
        }
    }
    printf("sum = %d\n",sum);
}

一、Kruskal算法（克鲁斯卡尔）

算法思路：

1. 将邻接矩阵 转化成 边表数组;
2. 对边表数组根据权值按照从⼩到⼤的顺序排序;
3. 遍历所有的边, 通过parent 数组找到边的连接信息; 避免闭环问题;
4. 如果不存在闭环问题,则加⼊到最⼩⽣成树中. 并且修改parent 数组

#define OK 1
#define ERROR 0
#define TRUE 1
#define FALSE 0
#define MAXEDGE 20
#define MAXVEX 20
#define INFINITYC 65535

typedef int Status;
typedef struct
{
    int arc[MAXVEX][MAXVEX];
    int numVertexes, numEdges;
}MGraph;

/* 对边集数组Edge结构的定义 */
typedef struct
{
    int begin;
    int end;
    int weight;
}Edge ;

交换权值以及头和尾

void Swapn(Edge *edges,int i, int j)
{
    int tempValue;
    
    //交换edges[i].begin 和 edges[j].begin 的值
    tempValue = edges[i].begin;
    edges[i].begin = edges[j].begin;
    edges[j].begin = tempValue;
    
    //交换edges[i].end 和 edges[j].end 的值
    tempValue = edges[i].end;
    edges[i].end = edges[j].end;
    edges[j].end = tempValue;
    
    //交换edges[i].weight 和 edges[j].weight 的值
    tempValue = edges[i].weight;
    edges[i].weight = edges[j].weight;
    edges[j].weight = tempValue;
}

//对权值进行排序
void sort(Edge edges[],MGraph *G)
{
    //对权值进行排序(从小到大)
    int i, j;
    for ( i = 0; i < G->numEdges; i++)
    {
        for ( j = i + 1; j < G->numEdges; j++)
        {
            if (edges[i].weight > edges[j].weight)
            {
                Swapn(edges, i, j);
            }
        }
    }
    
    printf("边集数组根据权值排序之后的为:\n");
    for (i = 0; i < G->numEdges; i++)
    {
        printf("(%d, %d) %d\n", edges[i].begin, edges[i].end, edges[i].weight);
    }
    
}

查找连线顶点的尾部下标
根据顶点f以及parent 数组,可以找到当前顶点的尾部下标; 帮助我们判断两点之间是否存在闭环问题;

int Find(int *parent, int f)
{
    while ( parent[f] > 0)
    {
        f = parent[f];
    }
    return f;
}

Kruskal生成最小生成树

void MiniSpanTree_Kruskal(MGraph G)
{
    int i, j, n, m;
    int sum = 0;
    int k = 0;
    //定义一数组用来判断边与边是否形成环路
    //用来记录顶点间的连接关系. 通过它来防止最小生成树产生闭环;
    int parent[MAXVEX];
    //定义边集数组,edge的结构为begin,end,weight,均为整型
    Edge edges[MAXEDGE];
    
    //1、用来构建边集数组
    for ( i = 0; i < G.numVertexes-1; i++)
    {
        for (j = i + 1; j < G.numVertexes; j++)
        {
            //如果当前路径权值 != ∞
            if (G.arc[i][j]<INFINITYC)
            {
                //将路径对应的begin,end,weight 存储到edges 边集数组中.
                edges[k].begin = i;
                edges[k].end = j;
                edges[k].weight = G.arc[i][j];
                
                //边集数组计算器k++;
                k++;
            }
        }
    }
    
    //2. 对边集数组排序
    sort(edges, &G);
    
    
    //3.初始化parent 数组为0. 9个顶点;
    // for (i = 0; i < G.numVertexes; i++)
    for (i = 0; i < MAXVEX; i++)
        parent[i] = 0;
    
    //4. 计算最小生成树
    printf("打印最小生成树：\n");
    /* 循环每一条边 G.numEdges 有15条边*/
    for (i = 0; i < G.numEdges; i++)
    {
        //获取begin,end 在parent 数组中的信息;
        //如果n = m ,将begin 和 end 连接,就会产生闭合的环.
        n = Find(parent,edges[i].begin);
        m = Find(parent,edges[i].end);
        //printf("n = %d,m = %d\n",n,m);
        
        /* 假如n与m不等，说明此边没有与现有的生成树形成环路 */
        if (n != m)
        {
            /* 将此边的结尾顶点放入下标为起点的parent中。 */
            /* 表示此顶点已经在生成树集合中 */
            parent[n] = m;
            
            /*打印最小生成树路径*/
            printf("(%d, %d) %d\n", edges[i].begin, edges[i].end, edges[i].weight);
            sum += edges[i].weight;
        }
    }
    
    printf("sum = %d\n",sum);
}