据我的经验，如果丢掉矩阵的话，那些涉及矩阵的证明可以缩短一半。—— 埃米尔.阿廷

复合变换

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很多时候你发现你想描述这样一种作用：一个变换之后再进行另一个变换，比如说将整个平面逆时针旋转90度后，再进行一次剪切。从头到尾的总体作用是另一个线性变换，它与旋转和剪切明显不同，这个新的线性变换通常被称为前两个独立变换的“复合变换”；

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和其他线性变换一样，我们也能通过追踪i帽和j帽，并用矩阵完全描述这个复合变换，在这个例子中，i帽在两个线性变换之后的最终落点是 (1, 1) ，j帽最终落点是 (-1, 0)，这一新的矩阵 [[1, -1], [1, 0]] 捕捉到了旋转然后剪切的总体效应；但它是一个单独的作用，而不是两个相继作用的合成；

矩阵乘法

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这里有种方法来考虑这个新矩阵，如果你有一个向量，将它进行旋转然后剪切，计算结果就是：首先将它左乘旋转矩阵，然后将得到的结果再左乘剪切矩阵，从数值角度看，这意味着对一个给定向量进行旋转然后剪切；但是无论所选向量是什么，结果都应该与复合变换作用的结果完全相同，因为新矩阵应当捕捉到了旋转然后剪切的相同总体效应；

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这里，新矩阵就称为最初两个矩阵的乘积，时刻记住，两个矩阵相乘有着几何意义，也就是两个线性变换相继作用；这里乘积需要从右向左读，首先应用右侧矩阵所描述的变换，然后再应用左侧矩阵所描述的变换，它起源于函数的记号，因为我们将函数写在变量左侧，所以每次将两个函数复合时，你总是要从右向左读；

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矩阵乘法和矩阵向量乘法本质是一样的，比如两个矩阵相乘，就相当于左边的矩阵对右边矩阵的每个向量（列）进行矩阵向量乘法，即应用线性变换。

矩阵相乘顺序

矩阵相乘时，它们的先后顺序影响结果吗？我们来看一个简单的例子，比如之前提到的两个变换：

• 一个是剪切，它保持i帽不变，将j帽挤到右边；
• 一个是90度旋转；

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第一种顺序：先剪切，再旋转，你会发现i帽落在 (0, 1) ，j帽落在 (-1, 1) ，它们靠的很近；

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第二种顺序：先旋转，再剪切，i帽落在 (1, 1) ，j帽落在 (-1, 0) ，它们的指向分隔很远；

二者总体效果明显不同，所以乘积顺序显然会有影响，这里我们在用变换来思考，这一过程可以在脑中形象地进行，完全不需要做矩阵乘法；

矩阵乘法结合律

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如果要证明这个公式，你可以尝试用数值的方式证明，但这个过程太过糟糕，而且对你毫无启发，就是一堆数字而已；但是如果你用变换相继作用的思想去考虑矩阵乘积，这一性质就变得很平凡了，因为公式左右的本质都是按同样的顺序对空间进行C变换->B变换->A变换，完全没有需要证明的东西；