Bresenham画线算法

首先你的初中数学要过关#####

基本上Bresenham画线算法的思路如下:
// 假设该线段位于第一象限内且斜率大于0小于1，斜率在这个范围内属于y坐标点小于x坐标点的情况，如果斜率大于1小于则属于y坐标点大于x坐标点情况，根据对称性,可推导至全象限内的线段。
// 设起点为(x1, y1),终点为(x2, y2)。

1.画起点(x1, y1)。
2.准备画下个点。x坐标增1，判断如果达到终点，则完成。否则，由图中可知，下个要画的点要么为当前点的右邻接点，要么是当前点的右上邻接点。
2.1.如果线段ax+by+c=0与x=x1+1的交点的y坐标大于M点的y坐标的话,下个点为U(x1+1,y1+1)
2.2.否则,下个点为B(x1+1,y1)
3.画点(U或者B).
4.跳回第2步.
5.结束.

Bresenham算法主要思路说白了就是：下一个要画的点该画在哪里，要么在斜边，要么在侧边。斜边就是x坐标加1的同时y坐标也加1 。侧边就是只加x或者只加y坐标。要如何确定画在哪个边呢？因为已知起点坐标和终点坐标分别(x1, y1)，(x2, y2)，所以可以确定这条线段的位置。最后根据要画的这个点距离这个线段的位置的大小，来确定该画在斜边还是侧边。斜边近就画斜边，侧边近就画侧边。

image

下面是求解思路
设线段方程：ax+by+c=0(x1<x<x2,y1<y<y2)
令dx=x2-x1,dy=y2-y1
则：斜率-a/b = dy/dx.

从第一个点开始，我们有F(x,1,y1) = ax1+by1+c=0
下面求线段ax+by+c=0与x=x1+1的交点:
由a(x1+1)+by+c = 0, 求出交点坐标y=(-c-a(x1+1))/b
所以交点与M的y坐标差值Sub1 = (-c-a(x1+1))/b - (y1+0.5) = -a/b-0.5，即Sub1的处始值为-a/b-0.5。

则可得条件当 Sub1 = -a/b-0.5>0时候,即下个点为U.
反之,下个点为B.
代入a/b,则Sub1 = dy/dx-0.5.

因为是个循环中都要判断Sub,所以得求出循环下的Sub表达式,我们可以求出Sub的差值的表达式.下面求x=x1+2时的Sub，即Sub2
1.如果下下个点是下个点的右上邻接点，则
Sub2 = (-c-a(x1+2))/b - (y1+1.5) = -2a/b - 1.5
故Sub差值Dsub = Sub2 - Sub1 = -2a/b - 1.5 - (-a/b-0.5) = -a/b - 1.代入a/b得Dsub = dy/dx -1;
2.如果下下个点是下个点的右邻接点，
Sub2 = (-c-a(x1+2))/b - (y1+0.5) = -2a/b - 0.5
故Sub差值Dsub = Sub2 - Sub1 = -2a/b - 0.5 - (-a/b-0.5) = -a/b. 代入a/b得Dsub = dy/dx;

于是，我们有了Sub的处始值Sub1 = -a/b-0.5 = dy/dx-0.5,又有了Sub的差值的表达式Dsub = dy/dx -1 （当Sub1 > 0）或 dy/dx（当Sub1 < 0）.细化工作完成。

伪装代码如下：

x=x1;
y=y1;
dx = x2-x1;
dy = y2-y1;
Sub = dy/dx-0.5; // 赋初值，下个要画的点与中点的差值
DrawPixel(x, y); // 画起点

while(x<x2)
{
  x++; 
  if(Sub > 0) // 下个要画的点为当前点的右上邻接点
  {
    Sub += dy/dx - 1; //下下个要画的点与中点的差值
    y++; // 右上邻接点y需增1
  }
  else// 下个要画的点为当前点的右邻接点
  {
    Sub += dy/dx;  
  }
  // 画下个点
  DrawPixel(x,y);
}

PS:一般优化： 为避免小数转整数以及除法运算，由于Sub只是用来进行正负判断，所以可以令Sub = 2dxSub = 2dy-dx,则
相应的DSub = 2dy - 2dx或2dy.

思考:如果Sub = 0时，会产生取两个点都可以的问题。这种情况可以任意随机选一个点，或者条件判断上Sub >= 0 作为默认条件取其一。

Bresenham算法用途：
1图像画线的时候，可以让线条更细腻，不会出现锯齿。
2游戏里，网格地图中，当人物走斜线的时候，用这个算法生成的行走路径更合理些。