Lecture1

2021-05-19  本文已影响0人  数科每日

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Reporter: Jonas Peters

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开场

1. 因果关系很重要 !

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讲着这里举了一个例子： x 轴是某个基因的活跃程度， y轴是该物种的某种性状（这里没说二者相关）。 可以看到， 两个图中， 数据点的分布非常相似， 都是明显的线性相关。 这时讲者提出一个问题：根据现有数据（图中红色圆点）， 请给出0点处 y 对应的值。

在不知道x 和 y因果关系的时候， 只能通过相关性做线性回归， 预测如左图所示。 但是对于右图而言， 实际情况可能是红色竖线所示。 原因是， 有另外一个因素， 同时影响了 x， y。 右图中红色数据点给出的不是趋势， 而是y 的取值范围。 根据这个例子，作者想说明2个道理

2. 什么是因果模型

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如果你有一个因果模型（例如 结构化因果模型 SCM）， 那么就意味着你可以知道：

3. 讲者在因果推断上的研究范围

4. 因果，统计，数据 的关系

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  1. 如果有 因果模型（causal modle）那么可以通过 因果推理(causal reasoning) 得出观测数据，结果以及干预效果

  2. 如果有观测数据，结果以及干预效果， 那么可以通过 因果学习/发现 (causal learning / discovery) 来获得 因果模型（causal modle）

  3. 因果模型（causal modle）包含了 统计模型（probilistic model）

  4. 上面的框的数据，干预种类更多， 自然包括了下面的部分

  5. 从数据到统计模型， 这个过程叫 统计学习（statistical learning），也叫机器学习 （machine learning）

  6. 从统计模型到数据： 统计推理。

这里要注意的是2和5。对于 5 来说， 如果存在无限多的数据， 那么就很容易得到统计模型。当然， 现实中不存在无限多的数据， 但是大数据是一个很好的近似。 也就是说， 在有了大数据的情况下， 统计模型可以很容易获得。 但是2就不一样了， 即使你有无限多的数据， 也不能轻易的得到因果模型， 这个步骤要难的多。

第一部分 因果语言表示和因果推理

例1

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这是一个简单的例子， 里面只包括2个变量， 一个因一个果。 例如 海拔（altitude）和 温度（temperature）。 左面方框中， 因果常用写法
X:= N_{x} : X 是一个符合标准正态分布的随机变量（比如，不同地点的海拔）
Y:= -6X + N_{y} : X， Y 不独立，Y 是果， X 是因， 最后的 N_{y} 代表噪声

对X的干预

当对X进行干预， 使得 X=3 时。 Y的分布就变成

Y {\sim} N(-18,1)

对Y的干预

当对Y进行干预， 使得 Y {\sim} N(2,2)

而这时， X 的分布依然是 X {\sim} N(1,0)。 因为 X 是因， Y 是果， 在因果模型中不能反向推导。 举例解释： 如果通过暖气让温度上升， 这时 Y （tempeture ）的分布就会发生变化， 但是这并不会改变当地的海拔 （X）。

例2

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一个相对复杂的例子：

干预 X_{1} 让其等于 0， 记作 P_{do(X_{1} := 0)}

这时， 上图结构变成如下图

注意 指向 X_{1} 的箭头消失了， 因为 它被干预了，也就是说，被人为设定了， 因此就不在受到他的 cause 影响了。

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下图中， 当对 X_{4} 进行干预时， 指向它的箭头也消失了。

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注意，以下两种写法代表不同的意思

例3 肾结石

这里给出了因果模型， 假设它已知。 在这里， 治疗方案（treatment）会受到结石大小影响（大结石用贵方案， 小结石用便宜的方案）。 治疗结果（recovery）同时受到结石大小（size of stone），和治疗方案（treatment）影响。 这里假设结石越大，治疗结果； 贵的方案，治疗结果好。

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当干预了治疗方案（treatment）以后， 上面的因果图就变成了下面的图

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下图中， 给出了 A ， B 方案的数值， 已经干预前后的因果图。

注意1: A ， B 方案出现了博克森悖论， 在单项上(Small Stone & Large Stone) A方案都好于B方案， 但是在总体治疗效果上 B 方案却优于 A 方案。

注意2: 下图中，存在 P(R|S, T) = P_{do(T := A)}（R| S, T） 也就是说， 对于 Recovery 来说， 是否控制 Treatment ， 并不会影响他和 结石大小（size of stone）和治疗方案（treatment）的关系。

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下图计算了， 当干预 T=A时 ，病人痊愈（Recovery = 1） 的期望.
计算结果

这意味着， 治疗方案 A要优于 治疗方案B

注意 1: 这里用到了上面 提到的关系式 P_{do(T := A)}（R| \cdot）= P(R| \cdot, T=A)
通过消除 do(\cdot) 运算符， 使得可以计算干预后的期望值 E_{do(T := A)}

注意 2: 从上图推导出来

注意 3: 基于干预的期望 E_{do(T := A)} ， E_{do(T := B)} 得出的结论是 A 的疗效更好。 而基于观察 （P(R=1 | T=A)， P(R=1 | T=B) ）得出的结论是 B 疗效好。 两个结论是对立的。 而仔细看分项目时（Small Stone & Large Stone）, 每个分项目又都是 A 好。 正确的答案是 A好， 这里存在博克森悖论。 导致（P(R=1 | T=A)， P(R=1 | T=B) ）得出的结论是 B 疗效好的原因在于， B方案治疗大大量的 Small Stone （容易的病例）。 由此可以得出：
基于控制得出的结论， 比观察得出的结论更靠谱

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由上面式子引出的定义（来源于 Perl 的书）

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关于因果强弱的定义

讲着给出了关于Casual 强弱的定义
C_{X->Y} := \frac{\partial}{\partial x} E_{do (X := x)}[Y]

在干预X的情况下， 当X变动一点点时， Y变化越大 C越大， 意味着 X， Y 的因果强度越大。

例4

在本例中， 如果要测算 X 对Y的影响， 不能直接用回归 Y \sim X 。因为存在一个后面路径：X \leftarrow A \rightarrow K \rightarrow Y ， 这种情况下， 需要在后面路径上的一点，进行干预， 比如 A, K

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例5

这个例子， 提到在 1950年代， 一个关于吸烟和肺癌关系的质疑， 就是认为存在同时影响吸烟 （Smoking） 和 肺癌（Cancer）的因素， 而当时提到的X因素是基因。 如果存在一种基因， 一方面导致携带该基因的人爱抽烟， 同时也更容易患肺癌， 那么就不能说吸烟导致了肺癌。 如果这种基因存在， 而且有效， 那么就是 吸烟基因同时导致了吸烟和肺癌。 而在1950年代， 基因只是被发现， 并无法检测， 所以这就给禁烟造成了很大的困扰。

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例6

James Lind 利用随机实验治疗坏血病的例子。 只要进行随机，就可以斩断所有 X Parents 的影响， 从而得出正确的关系。

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最后，给了一个关于 因果模型等价的定义 Equivalence of causal model

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