最大子段和问题

问题描述：

给定长度为n的整数序列，a[1...n], 求[1,n]某个子区间[i , j]使得a[i]+…+a[j]和最大，或者求出最大的这个和。如果该序列的所有元素都是负整数时定义其最大子段和为0。

例如(-2,11,-4,13,-5,2)的最大子段和为20,所求子区间为[2,4]。

问题分析：

最直接的想法就是利用遍历法遍历所有的可能，然后找到最大的那个，显然这不是一种有效的方法，但切实可行。在第二章的时候学习了分治方法，想到也可以把序列拆分成两部分，答案就在前半段或者后半段或者是穿过两段中间的部分。

暴力遍历法：

就是找到所有可能的结果然后再判断找到符合要求的那一个。首先我们需要一个循环来遍历从第一个位置到最后一个位置：for(int i = 0;i < n; i++)，然后还需要一个内层循环来遍历从当前位置到最后一个位置，来分别计算当前的最大子段和：

int maxSum(int n, int[] a, int besti, int bestj) {
    int sum = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        int thissum = 0;        
        
        for (int j = i; j <= n; j++) {
            thissum += a[j - 1];
            if (thissum > sum) {
                sum = thissum;
                besti = i;
                bestj = j;
            }   // end if
        }   // end inner for
        
    }   // end out for
    
    return sum;
}   // end maxSum

很明显该算法的计算时间是O(n²)。

分治法：

针对最大字段和这个具体问题本身的结构，还可以从算法设计的策略上对上述O(n²)计算时间算法加以更深刻的改进。

如果将给定的序列a[1..n]分成长度相等的两段a[1..n/2]和a[n/2+1:n]，分别求出这两段的最大字段和。则该给定序列的最大字段和有三种情行：

• ①和a[1..n/2]的最大字段和相同。
• ②和a[n/2+1:n]的最大字段和相同。
• ③最大字段和包含两部分，一部分在a[1..n/2]中，另一部分在a[n/2+1..n]中。

前两种情形我们可以用递归方法求出，第三种情形可以分别求出两部分的最大字段和值再相加（注：a[1..n/2]这部分求最大字段和要以a[n/2]结束，a[n/2+1..n] 这部分求最大字段和要以a[n/2+1]开始）。序列的最大字段和即为这三种情形的最大值。

static int maxSubSum(int[] a, int left, int right) {
    int sum = 0;
    if (left == right) {
        sum = a[left - 1] > 0 ? a[left - 1] : 0;
    } else {
        int center = (left + right) / 2;
        int leftSum = maxSubSum(a, left, center);
        int rightSum = maxSubSum(a, center + 1, right);

        int s1 = 0;
        int lefts = 0;
        for (int i = center; i >= left; i--) {
            lefts += a[i - 1];
            if (lefts > s1) s1 = lefts;
        }

        int s2 = 0;
        int rights = 0;
        for (int i = center + 1; i <= right; i++) {
            rights += a[i - 1];
            if (rights > s2) s2 = rights;
        }

        sum = s1 + s2;
        if(sum < leftSum) sum = leftSum;
        if(sum < rightSum) sum = rightSum;
    }   // end if

    return sum;
}   // end maxSubSum

该算法的计算时间为O(nlogn)。

动态规划算法：

如果我们定义一个b[j]表示到当前位置为止，最大的字段和，那么事情就会变得更加简单：

static int maxSum(int n, int[] a) {
    int sum = 0, b = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        if (b > 0) b += a[i - 1];
        else b = a[i - 1];
        if (b > sum) sum = b;
    }

    return sum;
}

该算法的计算时间需要O(n)。

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