烧脑大作战|“鸡兔同笼”引发的思考
“鸡兔同笼”的问题想必大家小时候都有遇到过,也多多少少被难到过,文中,我将对这类问题做个简略的归纳总结,并对几种解题方法逐一进行说明。
第一类问题、在已知总头数和总脚数的情况下,求计算鸡跟兔子各有多少只。
例题1、鸡兔同时待在一个笼子里,有鸡跟兔子一共26只,细数它们的脚,发现一共有脚68只,请问鸡跟兔子分别有多少只?
这个问题有几种常见的解题方法:“吹口哨法”、“假设法”、“画图法”、“方程式法”。下面我将用这四种方法对上面的例题进行说明。
方法一“吹口哨法”
首先在这里设定,每当口哨声响起的时候,笼子里的鸡跟兔子都会自觉的抬起两只脚。现在让我们吹起口哨,只听“嘟……”的一声,鸡跟兔子分别都抬起了两只脚。
由于笼子里一共有鸡跟兔子26只,那么这时,一共减少了26x2=52只脚,笼子里还剩余68-52=16只脚。
每只鸡有2只脚,每只兔子有4只脚,当鸡跟兔子都抬起2只脚之后,笼子里每只鸡还剩余的脚为0只,每只兔子还剩余的脚为2只,因此剩余的16只脚都是兔子的,可以计算得出兔子一共有16/2=8只,进一步计算得出笼子里鸡有26-8=18只。
方法二“假设法”
“假设法”是“鸡兔同笼”类问题的两种最常见的解法之一,另一种则是“方程式法”。
这里我们假设笼子里全部是鸡,鸡共有26只,由于每只鸡有2只脚,则一共有26x2=52只脚,但是题目告诉我们笼子里一共有脚68只,比52只多了68-52=16只脚,因此笼子里不只有鸡,还应该有兔子。
接下来我们来看看笼子里每增加一只兔子并减少一只鸡,那么脚的总数会怎么变化。由于兔子有4只脚,那么每增加一只兔子并减少一只鸡,笼子里的脚都会增加4-2=2个,要让笼子里的脚增加16只,那么需要增加兔子16/2=8只,也就是说笼子里需要有8只兔子,18只鸡(26-8=18),这样才能保证笼子里的脚的总数是68只。
在起初假设的时候也可以假设笼子里全部是兔子,推理的原理及步骤是一样的,这里不做赘述。
方法三“画图法”
“画图法”适合低年级的孩子,也是“假设法”的一种变形。在一张白纸上首先画上26个圈圈,每个圈圈带着两条线(两只脚)。
经过计算或者数数,可以得出目前有52只脚,之后从第一个圈圈开始,在两条黑色的直线之间画上2条红线,每画好一个圈圈,脚的总数就增加2只,直到画到第八只圈圈后,这时候脚的总数就变成68只了。
此时,一个圈圈带着四条直线的是兔子,一个圈圈带着两条直线的是鸡,也就是有8只兔子,18只鸡。
方法四“方程式法”
“方程式法”适合高年级的孩子,需要设一个未知数x。在这题中,我们设笼子里鸡的数量为x,那么兔子的数量就为(26-x),每只鸡有2只脚,每只兔子有4只脚,笼子里一共有68只脚,由这些已知条件,我们可以列出一个一元一次方程式:
2*x+4*(26-x)=68
经过计算,得到x=18,即笼子里鸡的数量为18只,兔子的数量为26-18=8只。
“鸡兔同笼”的问题除了上面最基本的形式外,还有几种变化形式。
第二类问题、在已知总头数和鸡跟兔子脚数的差数的情况下,同时已知鸡的总脚数比兔子的总脚数多,或者已知兔子的总脚数比鸡的总脚数多,求计算笼子里鸡跟兔子的数量。
例题2、在一个笼子里,已知鸡跟兔子一共有26只,鸡的总脚数比兔子的总脚数多4只,请问笼子里鸡跟兔子分别有多少只?
这里我将使用“假设法”来解析。我们假设笼子里26只全部是鸡,那么鸡的总脚数是52只,兔子的总脚数是0只,这时鸡的总脚数比兔子的总脚数多52只。
每当增加1只兔子,减少1只鸡的时候,兔子增加了4只脚,鸡减少了2只脚,一加一减之后,也就是鸡的总脚数比兔子的总脚数多出来的总数量减少了6只。
当增加1只兔子并减少1只鸡的时候,鸡的总脚数比兔子的总脚数多52-6=46只;当增加2只兔子并减少2只鸡的时候,鸡的总脚数比兔子的总脚数多52-2*6=40只;如此类推,当增加到8只兔子,并减少8只鸡的时候,鸡的总脚数比兔子的总脚数多了52-8*6=4只,正好跟题目中的已知条件相同。因此,可以得出笼子里有8只兔子,18只鸡。
第三类问题、在已知总脚数,同时让鸡跟兔子互换身份之后,总脚数发生了变化,求笼子里鸡跟兔子的数量。
例题3、在一个笼子里,鸡跟兔子的总脚数是68只,如果把鸡换成兔子,把兔子换成鸡,那么鸡跟兔子的总脚数变成88只,请问鸡跟兔子分别有多少只?
我们先来理清一下鸡跟兔子互换身份的话会发生什么变化。当把鸡换成兔子的时候,笼子里总脚数会增加,每换一只(鸡换成兔子),总脚数会增加2只;当把兔子换成鸡的时候,笼子里的总脚数会减少,每换一只(兔子换成鸡),总脚数会减少2只。
如果笼子里鸡跟兔子的数量是相同的,那么它们互换身份,笼子里总脚数的增加与减少正好抵消,总脚数不变;如果鸡的数量比兔子多的时候,那么每多出来一只鸡,当它们互换身份的时候,笼子里总脚数就会增加2个;反之,如果兔子的数量比鸡多的时候,每多一只兔子,当它们互换身份的时候,笼子里总脚数就会减少2个。
根据题目中的信息,当鸡跟兔子互换身份之后,笼子里总脚数变成了88只,比68只增加了88-68=20只脚,那么笼子里鸡的数量一定比兔子的数量多,鸡比兔子多了20/2=10只。
这时,题目的已知条件变成了:鸡跟兔子的总脚数是68只,鸡比兔子多10只。
我们假设把多出来的这10只鸡给赶出笼子去,那么笼子里的总脚数减少了10*2=20只,总脚数变为68-20=48只。
此时,笼子里鸡跟兔子的数量是相同的,而且1只鸡跟1只兔子组成的1对组合一共有6只脚,经过计算可以得出总共有8对组合(48/6=8),也就是有8只兔子跟8只鸡,再加上一开始赶出去的10只鸡,原来笼子里一共有18只鸡,8只兔子。
第三种问题还有简单一点的形式,直接告知的是总脚数,以及鸡跟兔子数量的差异,来计算鸡跟兔子分别有多少只。也就是例题3中解答过程的最后一部分。
总结一下,解答“鸡兔同笼”的问题,最常见、最有效的方法就是“假设法”(高年级学会解方程后,这类问题就没有多大继续的必要),掌握了“假设法”,不管题目的形式怎么变化,我们以不变应万变,假设笼子里都是鸡或者都是兔子,根据假设之后笼子里总脚数的变化情况,与题干信息进行比较匹配,最终得出准确的答案。
头脑风暴
1、鸡兔同笼,鸡跟兔子一共有32只,笼子里一共有脚100只,请问鸡跟兔子分别有多少只?
2、鸡兔同笼,鸡跟兔子一共有36只,鸡的总脚数比兔子的总脚数少12只,请问鸡跟兔子分别有多少只?
3、鸡兔同笼,鸡跟兔子的总脚数是100只,如果把鸡换成兔子,把兔子换成鸡,那么总脚数变成86只,请问鸡跟兔子分别有多少只?
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