1.4 无穷小与无穷大

2019-07-21  本文已影响0人  薛定谔的老鼠_007

1、再理解一遍定义(无穷小):

如果  \forall \varepsilon >0,\exists \delta >0,当 0<| X-x_{0} |<\delta  时, 有|f(x)-0| <\varepsilon   ,即:\lim\nolimits_{x\to x_{0} } f(x) =0.

 和前面极限定义没有任何区别,以前是极限趋近于a 一个常数,现在是0 。0<| X-x_{0} |<\delta  表示,点 x_{0}  的去心领域,如下图:即类似以下点a (x_{0} )。X 的取值只能是在这个范围里面,一句话就表明了这个不等式的意思千万记住:X 与 x_{0}  就是不等,且X 与 x_{0}  有一定的差距。所以这就是要引进 \delta  的原因,没有它的话,那 X=x_{0}  就没有意思了,那就不讨论极限了。好了,有前面的基础,咱就给出条件说如果满足 |f(x)-0| <\varepsilon   ,那就说 当 X 趋于 x_{0} 时,f(x) 极限为0,也就是 f(x) 是无穷小。

再啰嗦以下,定义就是要反反复复理解,一定记住定义四要素,1、\varepsilon  的任意性,2、\delta 的存在性,3、X与 x_{0}  或者 a有一定差距,4、小于 \varepsilon   。

2、明确一些性质或常识

第一、0时无穷小,但是无穷小不一定是0,无穷小的极限是0

第二、两个无穷小相加还是无穷小,两个无穷小相乘还是无穷小

第三、\lim\nolimits_{x\to x_{0} } f(x)=A 等价于 f(x )=A+\alpha ,\alpha  \rightarrow  0

3、无穷大的定义

定义: 如果 \forall  M>0,\exists  \delta >0,当 0M,称 f(x) 当X->x_{0} 时 为无穷大。

记做  \lim\nolimits_{x\to  x_{0} } f(x) =\propto  ;  与以前讲过的极限定义 有一丢丢不同,就是  |f(x)|>M. 因为无穷小的极限就是0,所以可以直接减去0,但是无穷大可以写成这样的 |f(x) - \propto | < \varepsilon  吗?我认为也可以(个人认为噢!没有验证!),但是很别扭。所以用M来表示,意思更加清楚。即,M具有任意性,要多大有多大,x 在一个范围内,和 x_{0}  有差距,如果 |f(x)| 比M还大,那就说无穷大。注意|f(x)| 加了绝对值哦,负无穷大也是无穷大!不是无穷小。

4、趋于正无穷大的定义

如果 \forall  M >0, \exists  X>0, 当 x>X时,|f(x)|>=M,称 f(x) 当 x->+\propto  时为无穷大

解释一下为啥要有  x>X ,是为了保证 x 只能取X的右边,从而向坐标轴右边取值,无限逼近右边。

5、无穷大与无穷小的关系

这个关系就是互为倒数关系,\frac{1}{\propto } ->0,  \frac{1}{0} ->\propto

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