数学思想方法揭秘-4(原创)

作者：王国波

原创数学思想方法揭秘系列，以自身自学数学的经验结合哲学思想来悟道数学思维。阅读本篇文章之前，强烈建议按顺序从前言看起。

上一篇：数学思想方法揭秘-3-5(原创)。

这篇文章先讲主要(关键&重点)与次要的辩证关系在数学思维过程中的运用，就是辩证法中的主要矛盾与次要矛盾、矛盾的主要方面和次要方面的实际运用。

如果对辩证法中的主要矛盾知识点不熟悉，可以先看看百度百科上的主要矛盾。

一个复杂的问题或事物，它通常包含影响或决定它的多种因素，这些因素(部分或全部)可能是相互独立的，更有可能是相互联系相互牵制，错综复杂的。对一些复杂的问题，我们可以分析它包含的因素，找出决定或影响它的主要因素(主要矛盾)，从抓主要矛盾入手，优先关注和聚焦于主要矛盾，适当兼顾考虑次要矛盾，提纲挈领找到解决问题的突破口，正所谓擒贼先擒王。

第18题（初中题）

为何按R的值进行枚举而不是Q？也是因为上面的等式中R比Q要关键，Q的值和R的平方在大多数情况下(R取4、5、6、7、8、9时)不在一个数量级。在此等式右边，数量大的起决定作用，也就是和Q相比，R是矛盾的主要方面。其实用Q进行枚举来试验下，和用R来枚举对比，就马上明白优劣了。有时在解题中通过多次试验试探，在试验中进行对比、反思总结、扬弃、优选也是正常的。并不是说数量大就一定是主要的关键的，要看具体问题和具体情况，在这个等式中是这样。

总结与点评：这题运用了抓主要对象、关键对象的策略、估值思想、分类讨论、枚举(穷举)。

主要与次要：辩证法矛盾论中提到主要矛盾、次要矛盾以及矛盾的主要方面和次要方面，教导我们要抓主要矛盾和矛盾的主要方面，在这道题中就得到实践运用，可见辩证法不是空洞的，要在具体的实践中运用和体会。通过观察、分析、比较，识别出主要矛盾和次要矛盾或矛盾的主要方面和次要方面，识别出关键对象特殊对象。这些对象在问题中起到主导支配作用，擒贼先擒王，解题时抓住主要对象关键对象，围绕它，以它为中心为重点，从它入手找突破口，提纲挈领，利用好它，处理好它。此题多处地方用到了识别出主要(关键、重点)对象和抓主要的解题策略。另外我们在解方程和因式分解时使用主元法，本质也是运用了主要与次要中的抓主要思想。

   抓主要矛盾和关键对象，把握好利用好这些关键的对象和关键属性关键特征。这些在传统文化中也有类似的论述，例如见机行事、天机，“机(也作几)”就是万事事物的关键或主要矛盾，就是万事万物变化的枢纽，或者说叫关键环节、关键点、要害、机关、玄关(至玄至妙之机关，玄牝之门)、玄窍、玄机、题眼。机既然可作”几”，这表明它可能在形态上比较细微，看上去微不足道不起眼，但不要轻视它的作用，很多时候它是解决问题的关键。

  我们要洞察"机”点，也就是察机，相关的还有知机、待机、乘机、造机(主动创造有利的契机)，这些在《孙子兵法》中都有精辟的论述，包括权谋规划(对应解题策略)，解题和打仗有些类似之处，都是解决问题，看看孙子兵法对悟道数学思维有助益。

  提到主要次要，大家可能会联想到平等与等级(在这个问题上下文中，用尊卑，歧视不太合适，所以用等级)。平等(对称)在很多场景包括日常生活中是应该提倡的，先前的博文中，我们也曾运用对称性来解决数学问题，但社会上有些场景还是需要存在合理的等级制度，需要有一个核心，需要有关键主要的角色对象存在，类似地，在数学解题中，有时也要分辨、识别出核心(主要对象)，抓主要对象来提纲挈领，要围绕关注主要对象，从主要对象找到解题突破口，不要眉毛胡子一把抓。这和社会上喊的要紧密团结在核心周围同出一辙，何其相似。所以再次强调数学思想方法不神秘，它们就在日常生活中，道在日用，关键是看你能不能从日常生活中提炼升华，灵活移植到其它领域，例如数学领域。

抓主要矛盾，也运用在抽象中，在抽象过程中去粗取精，去伪存真，就是抓主要矛盾，提炼本质。

估值：估算可能的取值范围，从而帮助做出判断决策或缩小相关联对象的取值范围。此题多处地方都运用了估值。

需要强调的是观察，它在日常生活工作中必不可少，在数学解题中也是这样，几乎每道题中都会用到。通过仔细敏锐有目的的观察，发现题目的特点特征，发现题目中数学对象隐藏的特点、特征、规律、关系，观察发现的东西都有可能是解题线索和解题突破口。这题处处都运用了观察，例如通过观察，发现是个主要对象关键对象；通过观察等式2，发现要对右边的9Q-9P-进行估值；通过观察，发现等式2左边的9P-是否为0也很关键，提醒我们把它作为分类的标准；通过观察=9P，发现等式左边是平方数，发现等式右边的9也是个平方数()，这些就是观察发现的特征，从而得出P也应该是个平方数。此题用到观察的地方就不一 一列举了，看上面的解题过程自己体会。

数学解题的本质：关系思想和辩证的解题策略

  辩证法中讲矛盾的相互转化，万事万物都存在联系，有联系就有关系。整个宇宙可建模为各种对象/事物(对象包含各种属性信息，属性一般用数据来度量)，以及对象之间的联系和关系，数学是研究数量之间的关系和空间形式的，数学对象也是这样，它们之间也存在各种关系。

    在日常生活中，很多人遇到困难喜欢找熟人找朋友走关系、找关系、利用关系来办事，在数学中也是这样，需要发现关系、创建关系、利用关系、改善关系、转化关系。

  数学对象的关系举例：大小关系例如a小于b、倒数关系、相反数关系、平方关系、三角形面积与底边&高之间的关系、直角三角形三条边之间的各种关系(主要体现为勾股定理，或用勾股定理来表达，还有三角函数正弦余弦正切等)，方程 a+b = 12表达刻画了一种关系，函数是对自变量和因变量之间对应/映射关系的刻画表达。定理、公式、方程、函数、集合、等式、不等式、二次函数曲线图像、向量运算、微积分等都是对关系的刻画和表达，同时它们也是数学研究的数学对象。

  更进一步，甚至连关系都是对象，也就是把关系自身也作为对象。

  关系之间也可能存在各种联系/关系，例如因果、充要条件、必要条件、充分条件通常是对象之间或关系之间的关系联系的逻辑表达。

  关系之间有层次和包含关系，例如除了A对象和B对象之间的关系，对A对象，进入到其内部，它内部的子对象之间存在关系，A对象和它内部的子对象之间也存在关系，也就是整体和局部之间存在各种关系。一个复杂的关系可能包含多个相对简单的关系。

  数学思想方法中，方程有方程思想，函数有函数思想，但对‘关系’却没有对应的思想， 而关系是数学研究的主题之一，但奇怪的是几乎没有哪本数学书籍包括数学思想的书籍明确提到”关系思想“，都只是提到“关系”，网上也只有百度百科上有一处提到关系思想，如下图，但内容其实是关于函数的，函数也只是关系的其中一种，网址https://baike.baidu.com/item/%E5%85%B3%E7%B3%BB%E6%80%9D%E6%83%B3/19147669

      本人认为应该名正言顺地把关系思想这个概念明确提出来，定义出来，关系思想不只是适用于数学领域，它是普遍适用的一种非常重要的思想。正因为如此，应该把它作为一种重要的数学思想方法加入到数学思想方法体系中，它在数学思想方法体系中应有非常重要的位置，属于高层次的思想。关系和关系思想是两个不同的概念，虽然它们之间有联系，就像方程和方程思想一样，是不同的两码事两个概念，熟悉方程并不意味着具有方程思想。

      对关系思想，本人定义如下：关系思想是辩证法中的普遍联系观点在思想方法中的变现和具体反应，当我们遇到任何事情或解决任何问题时，一定不要忘了运用联系(关系)分析的方法，要始终关注关系，深入研究关系，抓住关系把握关系，例如发现挖掘关系、识别关系、表达关系、评估关系、繁衍关系、变换关系、看透关系、构造关系、利用关系。根据普遍联系的观点，众多对象（万事万物）之间的关系形成一个整体的关系网络，就像我们四通八达的城市道路交通网一样。

   事物之间的联系(关系)就是纽带和桥梁，就是天然的思维向导思维线索，我们的思维顺着这些纽带，抓着这些纽带顺藤摸瓜，一路探索形成解题思路，通过它们引导我们的思维，它们是解题思路的带路党。或者说这些纽带就是一条思维的小河，是最有可能通向远方的目的地(在数学解题中就是结论和答案)的通道，显然应该借助它们，在它们的基础上加宽加长加深，打通各段互不联通的小河，最终到达目的地,而不是从零开始费事费力地另辟蹊径。

  在旅游中攀登悬崖峭壁，为了安全顺利地通过，我们大多会沿着事先开凿的小路抓着铁链绳索一路行走，否则无路可走，这些小路和铁链就好比数学解题中的联系(关系)，抓住它们才容易推进问题解决问题。

  庖丁解牛之道也是顺应事物的规律和联系，顺着牛身体结构中的缝隙顺势而为(顺着结构中联系最薄弱的地方)，不过这个缝隙在数学思维数学解题中就是数学对象之间的联系和各种特征，我们要利用好这些联系和特征，借助它们来解题。

    在数学领域，关系是第一类对象，它对应的关系思想，通常包含如下内容：

    发现关系、识别关系：关系有显(明显直接的、显式的)有隐(隐藏的、间接的、微小不起眼的、隐式的)，所以我们要通过观察、分析、联想、类比、抽象等手段来发现来挖掘出对象/事物之间、关系之间的各种关系，特别是本质的联系/关系，这就是关系的发现和识别。

    繁衍关系：数学对象或数学对象之间或关系之间，可以通过推理产生出/创造出新的关系/联系,例如我们通过逻辑推理除了产生新的结论，一般也可能伴随得出新的关系。解方程有时将两个方程式相加或相减或其他运算产生一个新的方程式，可以理解成对关系的组合。解题方法中的综合法就是对关系的繁衍，通过已知条件进行推理得出新的结论。

  变换关系：根据需要，我们可以对关系进行变形和改造，特别是不熟悉的关系、不好处理的棘手的关系。代数中的各种运算和变形，几何中的加辅助线和变换，如平移、旋转、反射，这些通常是对关系进行变换、改造、繁衍。

  表达关系：把关系翻译成数学语言，例如等式、不等式、函数、方程、几何图形、图像、集合、向量。这些都是关系的表现形式。

    看透关系：洞察数学对象之间存在的关系，另一种是入门三分地对已有的关系，看透关系的表现形式背后的本质内涵。

    构造关系：拉关系，创造关系。

    利用关系：最终就是要利用关系来达成我们的目的，来解决问题。

   数学是研究数量关系和空间形式，注意其中的数量关系，空间形式和结构也主要是各种关系。数学对象如数、量、方程、函数、集合、几何图形、点、线、面、面积、导数等等。数学对象数学对象之间的关系是数学研究的重点，数学题中存在各种数学对象，所以我们解数学题要时刻碰到关系，要时刻运用到关系，要时刻处理好关系。

  已知条件除了是数据信息(例如边长是5)之外，很多已知条件描述的是数学对象之间的关系。代数和几何结构、规则、算法、定理都蕴含有关系都刻画表达了数学对象之间的关系或约束了数学对象之间的关系，例如算法表示的是输入和输出的某种关系，勾股定理刻画表达的是直角三角形三条边之间的某种关系，可以把规则、算法、定理理解成关系的化身，或把它们当关系来使用。我们使用逻辑推理主要也是依靠关系。我们在生活中习惯利用社会关系来"走关系"，有关系就好办事。

  对每道数学题，从起点(题设、已知条件)到目标终点(结论、答案)的解题过程中的每一步几乎都是使用关系来不断地转化问题，不熟悉转化成熟悉，未知转化成已知，不好处理转化成好处理，和目标较远转化成越来越接近，从一种形式转化成另一种形式，从而一步步向终点靠近。不断地转化问题，也就是不断地变化，从起点一步步变化，最终到终点。

  在漫谈3的第1题中，我们通过联想类比，在第1题和将军饮马和壁虎爬墙之间建立了联系和关系，从而类推出要试着用两点之间直线最短的定理和思路来解决问题，朝这个方向努力，就自然联想到熟悉的长方体的展开；第7题，我们观察图形的特点，利用该几何图形闭合和拆分的辩证关系以及对应关系。第9题是解方程，这个方程自身就是一种关系，但这个关系中还隐藏有其他关系。我们观察该方程的特点，发现了隐藏的倒数关系。有些题利用了数与形的辩证关系来转化问题，有些题利用了抽象和具体的辩证关系。

    众多关系组成关系网，有关系就要利用，灵活利用好就能左右逢源，就能顺利实现目标，不能坐以待毙不去利用。

    善于发现/洞察关系、善于创造/繁衍关系、善于变换/改造关系、善于表达刻画关系、善于利用关系来解题应该成为一种思想：关系思想。关系思想，其实就是辩证法中万物普遍联系的思想观点。数学学习和解题一定要有关系思想意识，因为关系在解题过程中是实现转化变化的桥梁。解题思路一般要有一定的凭据(why)，为何思路是这样，为何这样做这样变化。要有一定的理由和根据(逻辑)，不是想当然，除了直觉和灵感，很多不是凭运气或随意思考，不是全凭经验或类似题目的解题方法的简单模仿，而解题思路的产生源泉和凭据就是数学思想方法包括关系思想和解题策略，也就是数学思想和解题策略对探索解题思路起到指导启发作用。

  在解数学难题时，找关系最简单的是直接把题目中的已知条件转化翻译成数学对象，例如方程、函数、等式、不等式、集合、几何图形、图表等，这些数学对象就是对关系的刻画表达。除了这些已知条件中明显蕴含的关系，我们还要通过观察和审题发现题目中隐藏的特征、特点、规律，分析识别出题目中的矛盾、难点，这很大程度上也是为了寻找关系，因为特征、特点、规律一般都蕴含有某些关系，这个寻找隐藏关系的过程通常要运用联想、类比、比较等数学思想方法。接下来来我们运用前面介绍的数学思想方法利用好题目中的关系来帮助我们解题，包括创造关系，改造关系，加上对题目中矛盾(此处的矛盾是指辩证法中的矛盾，不是逻辑矛盾)和难点的改造和转化、消除(对矛盾与难点的识别、转化、改造、消除可以体会第三篇中的矛盾分析法)。这样就实现了对难题的成功解题。

  通过关系思想来解题，来转化问题转化矛盾，要注意两点：第一点首先是要找出关系，不管是浅显的直接的关系还是隐藏的关系，甚至是主动创造新的关系，想办法让对象之间发生关系来产生新对象和新关系，想法让关系之间发生关系来产生新的关系。如何找关系和创造关系，主要是依靠数学思想方法和观察以及审题。另一点是在找关系利用关系时要灵活调整思维的视角和方向，要讲策略讲辩证，例如正向解决问题比较困难，那我们就逆向来解决，也就是正难则反的辩证策略；具体问题不好解决就上升到抽象层次来就解决，也就是抽象化策略。这两点在数学思想方法揭秘-3的解题思维过程中已经有讲述和体现。

  在数学思想方法的最上层就是观察、关系、特征、转化、辩证、反思。

下一篇：数学思想方法揭秘-5（原创）。

王国波  2019.1.13于广州