假设:掷硬币N次,记录每次结果,总共有K次正面向上

1. 等概率事件总共有

2^n 

2. K次正面朝上概率为

\frac{n!}{k!(n-k)!2^n}

思考问题:

1. 计算一下K个正面向上的硬币一共有多少个等概率事件:
2. 第一个正面向上的硬币有N个位置可以选择,第二个正面向上的硬币有(n-1)个位置可以选择,直至第K个正面向上的硬币只有(n-k+1)个位置可以选择
3. 查看2中得出的结果,(n-k+1)这个数字实际上暗示了,这K个硬币是要区分顺序的
4. 但实际上K个正面向上的硬币不存在顺序之分,因为正面向上的硬币之间的顺序实际上really doesn't matter,只需要区分正反之间的顺序就行了

H_a H_b T H_c H_d = H_c H_b T H_a H_d  

5. 所以我们不需要计算正面向上硬币之间的不同的排序
6. 计算正面向上真正的等概率事件数

\frac{n*(n-1)*(n-1)*...*(n-k+1)}{k!}

转化下正面向上真正的等概率事件数:

\frac{(n*(n-1)*(n-1)*...*(n-k+1)*(n-k)*(n-k-1)*...*1)}{((n-k)*(n-k-1)*...*1)*(k!)}

2. 正面向上真正的等概率事件数结果就是:

\frac{n!}{(n-k)!k!}

那么掷N个硬币,K次朝上的概率为:

\frac{n!}{(n-k)!k!*2^n}

总结:

1. K个不同物体区别顺序的排列,共有多少种排列:

k!

2. k<n 有n个格子,每个格子只能放一个东西,将k个不同的物体放入这些格子中,区分顺序,共有多少种放法?

n*(n-1)*(n-2)*...*(n-k+1)

3. k<n 有n个格子,每个格子只能放一个东西,将k个相同的物体放入这些格子中,不区分顺序,共有多少种放法?

\frac{n*(n-1)*(n-2)*...*(n-k+1)}{k!}

4. 在1.中实际上也可以看作为,k个不同物体放入k个格子中,区分顺序