P22-P30联合分布函数

2019-09-26 本文已影响0人陈文瑜

联合分布函数

联合分布函数定义
$F(x,y) = P(X<=x,Y<=y)$
称为X与Y的联合分布函数
边缘分布函数
只有X或只有Y
$F_X(x) = P(X<=x)=P(X<=x,y<\infty）$

二维离散型随机变量联合分布

$P（X=x_i,Y=y_i）=p_{ij}\quad,\quad(i,j=1,2,...)$

性质： $\sum_i\sum_jp_{ij} = 1$
边缘分布
X的边缘分布 (这个(1)代表的是第一个维度特征)
$P(X=x_i)=\sum_j P(X=x_i,Y=y_j)=\sum_j p_{ij}=p_i^{(1)}$
Y的边缘分布 (这里的(2)表示第二个唯独特征)
$P(Y=y_j)=\sum_i P(X=x_i,Y=y_j)=\sum_i p_{ij}=p_j^{(2)}$

二维连续型随机变量

联合密度函数
$F(x,y)=P(X<=x,Y<=y)=\int_{-\infty}^x \int_{-\infty}^y f(s,t)dsdt$
$f(x,y)$ 为 $(X,Y)$ 的联合密度
边缘分布函数
$F_x(x) = P(X<=x,Y<+\infty)=\int_{-\infty}^x\int _{-\infty}^{+\infty}f(s,t)dsdt$
注意：对谁求积分，就没有了谁
所以X的边缘密度函数
$f_X(x) = \int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dy$
这个函数的结果只包含了x

二维正太分布

联合密度函数。。。。
边缘密度函数。。。

条件分布

条件概率
已知一个变量的情况，问另外一个变量的分布，叫条件分布
A发生的条件下，X的条件分布函数
$F(x|A) = P\{X<=x|A\}$
$Y=y_j$ 条件下随机变量 $X$ 的条件分布
$P(X=x_i|Y=y_j)=\frac {P(X=x_i,Y=y_j)}{P(Y=y_j)} = \frac {p_{ij}}{p_j^{(2)}}$

$F(X|Y=y_j) = P(X<=x|Y=y_j) = \sum_{x_i<=x}P(X=x_i|Y=y_j)$

连续型随机变量条件分布

中值定理
$f(x) 在 [a,b] 连续，\exists \delta \in [a,b] 使得 \int _a^b f(x)dx = f(\xi)(b-a)$
$即 \frac 1 {b-a} \int _a^b f(x)dx = f(\xi)$
也就是 $\lim _{\epsilon \rightarrow 0} \frac 1 {\epsilon} \int _y^{y+\epsilon} f_Y(v)dv = \lim _{\epsilon \rightarrow 0} f_Y(\xi)$
连续型随机变量的密度函数 $f(x,y)$ 边缘密度函数 $f_X(x) 、f_Y(y)$
称 $f(x|y) = \frac {f(x,y)}{f_Y(y)} \quad (f_Y (y)>0)$ 为 $Y=y$ 条件下 $X$ 的条件密度函数

也有分布函数 $F(x|y) = \int _{- \infty}^x \frac {f(x,y)}{f_Y(y)}dx$

独立性

$F(x,y) = F_X(x)F_Y(y)$

二维连续型随机变量函数的分布

$(X,Y) 联合密度函数f(x,y)，Z=g(X,Y) 求Z的密度函数f_z(z)$

Z的分布函数
$F_z(z) = P(Z<=z) = P(g(X,Y)<=z) = P((X,Y) \in G_z) = \iint _{(X,Y) \in G_z }f(x,y)dxdy$
Z的密度函数
$f_z(z) = (F_z(z))^\prime$

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