地标性高考数学题高中数学：从课本到高考高中数学纲目

从课本到高考的高中数学笔记：函数零点存在定理

2022-04-04 本文已影响0人易水樵

习题4.5 题7

设函数 $f(x)=ax^2+bx+c(a \gt 0, \,b,\,c \in \boldsymbol{R})$ ，且 $f(1)= - \dfrac{a}{2}$ ，

求证：函数在 $(0,2)$ 内至少有一个零点.

【解】

$f(1)=a+b+c= - \dfrac{a}{2}$

$b=-\dfrac{3}{2}a -c$

$f(2)=4a+2b+c = a-c$

$f(x)$ 是连续函数；

$a \gt 0$ , $f(1) \lt 0$ ;

$f(0) = c$ ,

若 $c =0$ , 则 $f(2) \gt 0, f(1)f(2) \lt 0$ , 在 $(1,2)$ 区间存在零点；

若 $c \lt 0$ , 则 $f(2) \gt 0, f(1)f(2) \lt 0$ , 在 $(1,2)$ 区间存在零点；

若 $c \gt 0$ , 则 $f(0) \gt 0, f(0)f(1) \lt 0$ , 在 $(0,1)$ 区间存在零点；

综上所述，函数在 $(0,2)$ 内至少有一个零点. 证明完毕.

【提炼与提高】

这是《高中数学必修一》的一个习题. 安排这样一道习题，自然是为了让学生熟悉以下定理：

『函数零点存在定理』
如果函数 $y=f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上的图象是一条连续不断的曲线，且有 $f(a)f(b) \lt 0$ ，那么，函数 $y=f(x)$ 在区间 $(a,b)$ 内至少有一个零点，即存在 $c \in (a,b)$ ，使得 $f(c)=0$ ，这个 $c$ 也就是方程 $f(x)=0$ 的解.

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