《费马大定理》翻书笔记
作者：西蒙·辛格（Simon Singh）
译者：薛密
原著名称：《Fermat's Enigma: The Epic Quest to Solve the World's Greatest Mathematical Problem》
出版：广西师范大学出版社 2013年1月
原著出版时间：1998年
来源：下载的 epub 版本
豆瓣评分：9.2 （2800人评价）
被引用次数：292 （from Google 学术）
书中提到的纪录片《地平线：费马大定理》：
http://www.bilibili.com/video/av1594327/
本书实质上是借用“费马大定理”为主线，介绍了人类数学的发展简史，从毕达哥拉斯开始，一直贯穿到现今的数学前沿内容（只涵盖普通读者能理解到的部分），既把费马大定理的证明过程做了生动的描述，又不至于让读者对复杂的数学证明丧失兴趣，可谓用心良苦
从某种角度而言，所谓人的存在价值，就是为人类这个族群做出显而易见和被认可贡献，这也是人类这个群体在互相抚育着的真正原因
另一个启示是，即使在数学这样的纯理性领域，如果没有机会和领域内最优秀的头脑交流，要取得优异的成就也是非常困难的，更不用说像商业、哲学、互联网这样理性尚未占主导的领域
摘录：
“年轻人应该证明定理，而老年人则应该写书。”G. H.哈代在他的《一个数学家的自白》（A Mathematician's Apology）一书中说道：“任何数学家都永远不要忘记：数学，较之别的艺术或科学，更是年轻人的游戏。举一个简单的例子，在英国皇家学会会员中，数学家的平均当选年龄是最低的。”他自己最杰出的学生斯里尼瓦萨·拉马努金（Srinivasa Ramanujan）当选为英国皇家学会会员时年仅31岁，却已在年轻时做出了一系列卓越的突破性工作。尽管在南印度的库巴康纳姆他的家乡小镇上只受过很少的正规教育，拉马努金却能够创立一些西方数学家都被难倒的定理和解法。在数学中，随着年龄而增长的经验似乎不如年轻人的勇气和直觉来得重要。当拉马努金将他的结果邮寄给哈代时，这位剑桥的教授深为感动，并邀请他放弃在南印度的低级职员的职业来三一学院工作；
数和它们的真理是永恒的。毕达哥拉斯用事实证明，与任何别的学科相比，数学远不是一门主观的学科。他的信徒们并不需要他们的大师来裁决一个特定的理论的正确与否，理论的正确性不依赖于人的看法。相反，数学逻辑的解释已经成为真理的仲裁者。这是毕达哥拉斯学派对文明的最伟大的贡献——一个获得真理的方法，它不会像人类判断那样难免出错。
费马采取的策略是有效地履行职责，而不把人们的注意力引向自己。他没有很大的政治野心，并尽力避开议会中的混战。相反，他将自己剩下的精力全都献给了数学，在不用判决教士以火刑处死的日子里，费马把时间都用在他的业余爱好上了。费马是一个真正的业余学者，一个被埃里克·贝尔称为“业余数学家之王”的人。但是他的才华是如此出众，以至于当朱利安·库利奇（Julian Coolidge）写《业余大数学家的数学》（Mathematics of Great Amateurs）这本书时将费马排除在外，理由是他“那么杰出，他应该算作专业数学家”。
最违背直觉的概率问题之一是关于共有生日的可能性问题。假想有一个足球场上运动员和裁判一起共23人。那么，这23人中的任何2个人有相同的生日的概率是多少？23个人，而可选择的生日有365个，似乎极不可能会有人共有同一个生日。如果请人估计这个概率是多少的话，绝大多数人恐怕会猜至多是10％。事实上，正确的回答是刚好超过50％——这就是说，根据概率的测算，球场上有2个人有相同生日的可能性比没有人共有生日的可能性更大。
出现这么高概率的原因是将人们配成一对对的方式的总数总是大于人的总数。当我们寻找共有的生日时，我们需要找成对的人而不是单个的人。因为球场上只有23个人，所以有253种配对。例如，第一个人可以与其余的22个人中的任何一个配对，这样一开始就给出22种配对。然后，第二个人可以与剩下的21人中的任何一个配对（我们已经计算过第二个人与第一个人的配对，所以可能的配对数要减去1），这样给出另外的21种配对。接着，第三个人可以与剩下的20人中的任何一个配对，再给出另外的20种配对，以此类推直到最终我们得到总共253种配对。
在23人的人群中出现一个共有的生日的概率大于50％这个事实，凭直觉似乎是不正确的，但它在数学上则是无可否认的。诸如此类的奇怪的概率恰恰是赌注登记经纪人和赌棍们赖以掠取粗心上当者钱财的依据。当你下次参加一个23人以上的聚会时，你可以押赌注来赌房间中一定有2个人的生日是相同的。请注意对23个人的人群来说这个概率只是略大于50％，而当人数增加时这个概率迅速上升。因此，对一个有30人的聚会来说，赌其中将有2人有相同的生日肯定是值得的。
这个问题开始于问1的平方根是什么？一个显然的答案是1，因为1×1＝1。不那么显然的答案是-1。负数与负数相乘得到正数。这意味着（-1）×（-1）＝1。所以，+1和-1都是+1的平方根。这样丰富的答案是不错的，但接着问题就发生了，-1的平方根是什么？这个问题似乎很难对付。答案不可能是+1或-1，因为这两个数的平方都是+1。然而，也不存在明显的候选者。同时，完全性又要求我们必须能回答这个问题。
邦贝利的解答是创造一个新的数i，称为“虚数”，它就被定义成问题“-1的平方根是什么”的解。这可能有点像懦夫的解答，但是它与引进负数的方式没有任何差别。“0减去1是什么？”面对这个以另外方式无法回答的问题，印度人简单地定义-1作为这个问题的解。只是因为我们对类似的概念“负债”有经验，所以比较容易接受-1这个概念，但在现实世界中我们没有任何事物支持虚数这个概念。17世纪的德国数学家戈特弗里德·莱布尼茨（Gottfried Leibniz）对虚数的奇异性质作了优雅的描述：“虚数是非凡思想的美好而奇妙的源泉，近乎于存在与非存在之间的两栖物。”
一旦我们定义了i为-1的平方根，那么必定存在2i，因为这是i加i的和（也是－4的平方根）。类似地，i/2必定存在，因为这是用2除i的结果。通过简单的运算，可以得到每一个所谓“实数”的虚对等物，即虚计数数、虚负数、虚分数和虚无理数。
现在出现的问题是虚数在实数直线上没有自然的位置。数学家们通过设置一条独立的虚数直线再次解决了这个危机，虚数直线与实数直线垂直并相交于零这个位置，如图12所示。现在数不再限制在一维直线上，而是占有二维的平面。纯虚数和纯实数被限制在它们各自的直线上，而实数和虚数的组合（例如1＋2i）——称为“复数”——则分布在所谓的数平面上。
失去一只眼睛只不过是小小的障碍——事实上欧拉宣称说：“现在我将更少分心了。”40年后，已经60多岁的欧拉的状况大大地恶化了。当时欧拉的另一只好眼得了白内障，这意味着他注定会彻底失明。他决心不为之屈服，并开始练习闭上那只视力正在消退的眼睛进行书写，以便在黑暗袭来之前就使他的书写技术达到完美的程度。几个星期后他变瞎了。先前的练习起到一段时间的好效果，但是几个月后欧拉的字迹变得难以辨认，于是他的儿子阿尔贝（Albert）担当起誊写员的角色。
在后来的17年中欧拉继续发展着数学，如果说有什么不同，那就是他比以前更为多产。他具有的无比的智慧使他能巧妙地把握各种概念和想法而无须将它们写在纸上，他非凡的记忆力使他的头脑有如一个堆满知识的图书馆。他的同事们说失明的袭击似乎扩大了他的想象的范围。值得注意的是，欧拉关于月球位置的计算是在他失明期间完成的。在欧洲的君主们看来，这是最值得奖励的数学成就。这个问题一直困惑着欧洲包括牛顿在内的最伟大的数学家们。
在1776年，为了除去白内障，欧拉做了一次手术。有好几天欧拉的视力似乎已经恢复。然后发生感染，欧拉重又被投入黑暗。他仍不屈不挠地继续工作，直到1783年9月18日他遭到致命的打击为止。用数学家兼哲学家德·孔多塞侯爵（the Marquis de Condorcet）的话来说：“欧拉停止了生命，也停止了计算。”
除了在谍报活动中发现应用外，质数也出现在自然界中。在昆虫中十七年蝉的生命周期是最长的。它们独有的生命周期开始于地下，蝉蛹在地下耐心地吮吸树根中的汁水。然后，经过17年的等待，成年的蝉钻出地面，无数的蝉密集在一起，一时间掩盖了一切景色。在几个星期中，它们交配，产卵，然后死去。
使生物学家困惑的问题是：“为什么这种蝉的生命周期如此之长？”以及“生命周期的年数是质数这一点有无特殊的意义？”另一种昆虫十三年蝉，每隔13年密集一次，也暗示生命周期的年数为质数也许有着某种进化论意义上的优势。
有一种理论假设蝉有一种生命周期也较长的寄生物，蝉要设法避开这种寄生物。如果这种寄生物的生命周期比方说是2年，那么蝉就要避开能被2整除的生命周期，否则寄生物和蝉就会定期相遇。类似地，如果寄生物的生命周期是3年，那么蝉要避开能被3整除的生命周期，否则寄生物和蝉又会定期相遇。所以最终为了避免遇到它的寄生物，蝉的最佳策略是使它的生命周期的年数延长为一个质数。由于没有数能整除17，十七年蝉将很难得遇上它的寄生物。如果寄生物的生命周期为2年，那么它们每隔34年才遇上一次；倘若寄生物的生命周期更长一些，比方说16年，那么它们每隔272（16×17）年才遇上一次。
为了回击，寄生物只有选择两种生命周期可以增加相遇的频率——1年期的生命周期以及与蝉同样的17年期的生命周期。然而，寄生物不可能活着接连重新出现达17年之久，因为在前16次出现时没有蝉供它们寄生。另一方面，为了达到为期17年的生命周期，一代代的寄生物在16年的生命周期中首先必须得到进化，这意味着在进化的某个阶段，寄生物和蝉会有272年之久不相遇！无论哪一种情形，蝉的漫长的、年数为质数的生命周期都保护了它。
这或许解释了为什么这种假设的寄生物从未被发现！在为了跟上蝉而进行的赛跑中，寄生物很可能不断延长它的生命周期直至到达16年这个难关。然后它将有272年的时间遇不到蝉，而在此之前，由于无法与蝉相遇它已被赶上了绝路。剩下的是生命周期为17年的蝉，其实它已不再需要这么长的生命周期了，因为它的寄生物已不复存在。
根据在达姆斯塔特去世的保罗·沃尔夫斯凯尔博士授予我们的权力，我们在此设立10万马克的奖赏，准备授予第一个证明费马大定理的人。
下列规定将予以遵守：
（1）格丁根皇家科学协会拥有绝对的权力决定该奖授予何人。本会拒绝接受任何以参与竞赛获得该奖为唯一目的而写的任何稿件。本会只考虑在定期刊物上以专著形式发表的或在书店中出售的数学专题论著，协会要求作者呈交至少5本已出版的样本。
（2）凡以评委会挑选的学术专家不能理解的语言发表的著作不属本竞赛考虑范围。这类著作的作者可以用忠实于原文的翻译本代替原著。
（3）协会没有责任审查未提请它注意的著作，也不对可能由于著作的作者，或部分作者不为协会所知这个事实而造成的差错承担责任。
（4）在有多名人员解答了这个问题，或者该问题的解答是由几名学者共同努力所致的情况下，协会保留决定权，特别是对奖金分配的决定权。
（5）协会举行颁奖不得早于被选中的专著发表后的两年。这段时间供德国和外国的数学家对所发表的解答的正确性提出他们的意见。
（6）此奖的授予由协会确定后，秘书就以协会的名义立即通知获奖者，此结果将在上一年曾宣布过这项奖的各地公布。协会对该奖的指派一经决定就不再更改。
（7）在颁布后3个月内，将由格丁根大学皇家出纳处向获奖者支付奖金。或者由受奖者自己承担风险在他指定的其他地点支付。
（8）钱款可按协会的意愿以现金或等值的汇票送收。汇票送达即认为已完成奖金的支付，即使在这天结束时汇票的总价值可能不到10万马克。
（9）如果到2007年9月13日尚未颁布此奖，将不再继续接受申请。
格丁根皇家科学协会
1908年6月27日
罗素的悖论经常是用一个细心的图书管理员的故事来说明的：一天，当图书管理员在书架间走来走去时，他发现一套目录，其中对小说、参考书、诗集等都有单独的目录册。图书管理员注意到有些目录册把自己也列在其中，而另一些目录册则不将自己列在其中。
为了简化目录册体系，图书管理员制作了两本大的目录册，其中一本列出所有的将自己列在其中的目录册，另一本则列出所有不将自己列在其中的目录册。在快完成这项工作的时候，图书管理员发现一个问题：列出所有不将自己列在其中的目录册的那个大目录册是否应该在本身中列出？如果列出的话，那么按照定义，它不应该被列出。然而，如果不列出的话，那么按照定义，它应该被列出。图书管理员处于无论怎么做都不会对的情况。
计算机能提供的一切只是有利于费马大定理的证据。对于浅薄的观察者来说，证据似乎就是压倒一切的因素，但是再多的证据也不足以使数学家满意，他们是一群除了绝对证明之外其他什么都不接受的怀疑论者。基于从一些数得出的证据就来推断这个结论对于无穷多个数都成立是一种冒险的（也是不可接受的）赌博。
下面的一组特别的质数可以说明这种推断法是难以倚靠的支柱。在17世纪，数学家们经仔细的探究证明了下面的这些数都是质数：
31，331，3331，33331，333331，3333331，33333331。
这个序列以后的数变得非常大，因而得花很大的工夫才能核对它们是否是质数。当时有些数学家对据此形式作出推断发生了兴趣，认为所有这种形式的数都是质数。然而，这种形式的下一个数333333331结果却不是质数：
333333331＝17×19607843。
另一个说明为什么数学家不为计算机所提供的证据动摇的好例子是欧拉猜想。欧拉声称下面的与费马方程不同的方程
x4＋y4＋z4＝w4
不存在解。200多年来没有人能证明欧拉猜想，但另一方面也没有人能举出反例来否认它。开始是用人工研究，后来用计算机细查，但都未能找到解。没有反例是这个猜想成立的有力证据。然而在1988年，哈佛大学的内奥姆·埃尔基斯（Naom Elkies）发现了下面的解：
2682440^4 ＋15365639^4 ＋18796760^4 ＝20615673^4
尽管有各种证据，欧拉猜想最终还是不对的。事实上，埃尔基斯证明了这个方程有无穷多个解。这里的教训是，你绝不能使用从开首100万个数得出的证据来证明一个涉及一切数的猜想。
但是欧拉猜想捉弄人的程度远不能与高估质数猜想相比。随着搜索的数字范围越来越大，可以清楚地看出，越来越难以找到质数。例如，在0和100之间有25个质数，而在10000000和10000100之间只有2个质数。1791年，当时刚好14岁的卡尔·高斯就预言了质数在数中的频率衰减的近似方式。这个公式相当准确，但总似乎稍稍高于真正的质数分布情形。对不大于100万、10亿或1万亿的质数进行测试也总会显示出高斯的公式有点过于慷慨。这强烈地诱使数学家们相信这种情形对直到无穷的一切数都是对的，从而诞生了高估质数猜想。
然而，在1914年，G. H.哈代在剑桥的合作者李特伍德（J. E. Littlewood）证明了在充分大的数字范围时高斯的公式将会低估质数的个数。在1955年，斯奎斯（S. Skewes）显示这种低估在到达数字
之前就会发生。这是一个难以想象的数，也是无任何实际应用的数。哈代把斯奎斯的数称为“数学中迄今为止为确定的目的服务过的最大的数”。他计算过，如果一个人以宇宙中的全部粒子（10^87）作棋子来弈棋，这里走一步棋指交换任何两个粒子，那么可能的局数就大致等于斯奎斯的那个数。
没有理由说费马大定理不会像欧拉猜想或高估质数猜想一样最终证明是靠不住的。
