刘嘉《概率论》5

第2章 概率计算法则

2.1概率计算：加法法则和乘法法则

多个随即事件概率计算的本质——两个基本法则：第一是加法法则，第二是乘法法则。

第一，

加法法则——多个随即事件发生其一的概率，等于每个随机事件各自发生概率之和。

加法法则的限定条件：这些随机事件不能同时发生——这被称为“互斥”。

反例：周六下雨概率为40%，周日下雨概率80%，整个周末都下雨的概率是多少？

×错误方法：40%+80%=120%。周末都下雨的概率不可能＞100%，所以这样简单利用加法法则是错误的。

正确方法有三种：

①将事件拆解为“互斥”的事件。周末下雨有三种情况：（理解这块最关键，可以将此句翻译为周末任意一天下雨的概率）

a.周六下雨、周日不下雨的概率：40%×（1-80%）=8%

b.周日下雨、周六不下雨的概率：（1-40%）×80%=48%

c.周六、周日都下雨的概率：40%×80%=32%。

难点：一定要搞清楚，周末下雨不等于周六周日都下雨！！！

以上三种情况时互斥的，这时就可以利用加法法则算出周末两天都下雨的概率：

8%+48%+32%=88%。

②用周六下雨概率＋周日下雨概率-周六周日都下雨的概率=周末两天都下雨的概率

40%+80%-40%×80%=88%

③把第二种计算方法反过来：1-周六不下雨的概率×周日不下雨的概率

1-（1-40%）×（1-80%）=88%

第二，乘法法则

乘法法则是指，多个随即事件同时发生的概率，等于各个随即事件各自发生概率之积。

与加法法则一样，乘法法则也要求各个事件是“互斥”的独立事件。

比如上个例子中周六周日都下雨的概率，就是典型的乘法法则应用场景：40%×80%=32%

再比如应聘通过A公司的概率是30%，通过B公司的概率是60%，两家公司同时通过的概率是：30%×60%=18%。

如果是独立事件，乘法法则可以直接使用；如果是“非独立”事件，就要对乘法法则做个变形。

第三，概率计算的真正困难时读懂问题

比如一架飞机失事了，那么下一架飞机失事的概率是多少？在这里一定要注意的是：不要把“飞机再次失事的概率”，误解为“连续两架飞机失事的概率”，这就是两种完全不同的思维角度。

“飞机再次失事的概率”与“硬币再次抛出正面的概率”的概念一样，是一个独立事件，不受前一次事件的影响。但“连续两架飞机失事的概率”就符合乘法法则，是两架飞机失事的概率相乘得到的结果。

所以，正确翻译现实问题，是概率计算最复杂的地方，也是学习概率论最核心的问题。