线性代数笔记29

2019-03-24 本文已影响0人大飞哥

矩阵的相似

A是mxn的
那么 $A^TA$ 是正定的吗
二次型：
$x^TA^TAx=(Ax)^T(Ax)=|Ax|^2| \ge0$
所以是正定的（半正定），
为了保证大于零，需要零空间没有其他元素，即列满秩，r(A)=n

相似

A，B是相似的（nxn）
这意味着
某个可逆矩阵M
$B=M^{-1}AM$

如：
$\Lambda =S^{-1}AS$
A 和 $\Lambda$ 就是相似的

性质
相似矩阵又相同的特征值
证明：

相似矩阵又相同的特征值

特征值相同，但是特征向量不同

一个不好的例子，两个相同的特征值
$\lambda_1=\lambda_2=4$
一个小家族 $\begin{bmatrix}4&0\\0&4 \end{bmatrix}$
因为 $M^{-1}\begin{bmatrix}4&0\\0&4 \end{bmatrix}M=\begin{bmatrix}4&0\\0&4 \end{bmatrix}$
任意乘可逆矩阵M仍然是 $4I$

另一个大家族 $\begin{bmatrix}4&1\\0&4 \end{bmatrix}$ ，则包括其他矩阵
这种就称为若尔当标准型

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矩阵的相似

相似

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