行列式的求导

2021-04-19 本文已影响0人 Boye0212

在应用中，经常会碰到需要对某个矩阵的行列式进行求导的情况。而行列式的计算方法比较复杂，如果将它展开成后计算，会比较麻烦，因此最好直接记住一些结论。

本文以计算 $\dfrac{\partial |A|}{\partial A}$ 和 $\dfrac{\partial \ln |A|}{\partial A}$ 为例，介绍如何对行列式求导，并希望大家可以记住结论。

首先，为防止大家线性代数的内容忘得差不多了，我们先以方阵 $A$ （ $n\times n$ ）为例，回顾一下与行列式有关的基本概念：

minor（余子式，或者叫余因式） $M$ ：是一个 $n\times n$ 方阵，其中元素 $M_{ij}$ 就是把原方阵 $A$ 去掉第 $i$ 行、第 $j$ 列之后再取行列式的值；
cofactor（代数余子式） $C$ ： $C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$ ；
adjugate（伴随矩阵） $A^*$ ： $A^*_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ji}$ ，即 $A^*=C'$ ；

而方阵 $A$ 行列式，就可以用某一行（比如第 $i$ 行）的cofactor $C$ 的形式来表达（当然也可以用 $A^*$ ）： $|A|=\sum_{j}A_{ij}C_{ij}$

另外，若 $A$ 是非奇异矩阵，则有
$A^{-1}=\dfrac{A^*}{|A|}=\dfrac{C'}{|A|}$

现在，再来看对 $|A|$ 的求导。对于 $A$ 的某个元素 $A_{ij}$ ，将行列式写成 $A$ 的第 $i$ 行展开的形式，我们有
$\dfrac{\partial |A|}{\partial A_{ij}} = \dfrac{\partial \sum_{j}A_{ij}C_{ij}}{\partial A_{ij}}=C_{ij}$
第二个等式是因为，对于任意的 $j$ ，在 $C_{ij}$ 的计算中都是剔除了 $A_{ij}$ 的，也即它和 $A_{ij}$ 的变动没关系。

因此，我们有
$\dfrac{\partial |A|}{\partial A} = C = (A^*)'$

如果 $A$ 非奇异，那么有
$\dfrac{\partial |A|}{\partial A} = (|A|A^{-1})'= |A|(A^{-1})'$

对于 $\ln |A|$ ，利用链式法则，有
$\dfrac{\partial \ln |A|}{\partial A} = \dfrac{1}{|A|} |A|(A^{-1})' = (A^{-1})'$

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