2018-10-09

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第六章、连续时间系统的系统函数（上）

系统函数定义：
- 系统的零状态响应 $R(s)$ 与激励 $E(s)$ 之间的比值： $H(s) = \frac{R(s)}{E(s)}$
- 激励：电压: $U_1(s)$ ,响应：电流: $I_1(s)$ ,系统函数(输入导纳): $Y_{11}(s) = \frac{I_1(s)}{U_1(s)}$
- 激励：电压: $I_1(s)$ ,响应：电流: $U_1(s)$ ,系统函数（输入阻抗）: $Z_{11}(s) = \frac{U_1(s)}{I_1(s)}$
- 激励：电压: $I_1(s)$ ,响应：电流: $U_2(s)$ ,系统函数（转移阻抗函数）: $Z_{21}(s) = \frac{U_2(s)}{I_1(s)}$
- 激励：电压: $U_1(s)$ ,响应：电流: $I_2(s)$ ,系统函数(转移导纳函数): $Y_{21}(s) = \frac{I_2(s)}{U_1(s)}$
- 激励：电流: $I_1(s)$ ,响应：电流: $I_2(s)$ ,电流传输函数: $Z_{i21}(s) = \frac{I_2(s)}{I_1(s)}$
- 激励：电压: $U_1(s)$ ,响应：电压: $U_2(s)$ ,电压传输函数: $Z_{u21}(s) = \frac{U_2(s)}{U_1(s)}$
关系
- $H(p),H(s)$ 形式相同，含义不同。
- $H(s)$ 中当 $s = j\omega$ 时，就得到系统性在频域中的表达形式 $H(j\omega)$
- $H(s)$ 是 $h(t)$ 的像函数， $h(t)$ 是 $H(s)$ 的原函数
系统函数的表达法
- 图示法：频率特性，复轨迹，极零图
对于一般的电系统， $H(s)$ 为有理函数，其幅频特性为 $\omega$ 的偶函数，相频特性为 $\omega$ 的奇函数，只要画出 $\omega > 0$ 即可。
波特图：频率特性曲线有时可以在对数尺度的坐标系中作出，称为波特图。
对于因果系统，的实部和虚部相互联系，知道其中一个，可以推出另外一个。
- 对于因果系统
  - - - $H(j\omega) = \frac{1}{2}H(j\omega) +\frac{1}{2\pi j}H(j\omega) * \frac{1}{\omega}$
      - $R(j\omega ) = \frac{1}{\pi } X(j\omega) \ast \frac{1}{\omega} = \frac{1}{\pi }\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{X(j \lambda )}{\omega - \lambda }d \lambda$
      - $X(j\omega ) = -\frac{1}{\pi }R(j\omega) \ast \frac{1}{\omega} = -\frac{1}{\pi }\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{R(j \lambda )}{\omega - \lambda }d \lambda$
复轨迹
- 定义：对于每一个值，函数都是一个复数，都可以用复平面上的一个点表示，令从变化到,在复平面上的点将随之运动，其在复平面上所产生的轨迹称为复轨迹。(用于系统稳定性分析)
  - $H(j\omega) = H(-j\omega)^{\ast}$ , $|H(j\omega)| = -|H(-j\omega)|$
    $\varphi (\omega) = -\varphi(-\omega)$ 复轨迹一定是关于实轴对称.
极零图
- 将 $H(s)$ 的极点和零点在复平面上表示出来,构成极零图。
- 如果系统的全部极点和零点都确定了以后,系统函数基本就确定了.
系统的极零点分布及其与系统时域特性的关系
- 极零点一定关于实轴对称
- 如果将 $s = \infty$ 处的极零点都考虑在内，则系统的极点的个数与零点的个数相等。
- 系统的极点就是系统的特征根,决定了系统响应可能含有的各个信号的模式
- 假设系统的极点
  - $r_{zi}(t) = C_1e^{p_1 t} + C_2e^{p_2 t} +... + C_Ne^{p_N t}$
极零点与系统的频率特性
- 通过系统的极零点求系统的频率特性
  - - $s - z_i = b_i = B_ie^{j\beta_i},s-p_i = a_i = A_ie^{j \alpha_i}$
    - $H(j\omega) = H_0 \frac{\quad_{i = 1}^m B_i}{\quad_{i = 1}^n A_i}e^{j(\sum_{i = 1}^m\beta_i - \sum_{i = 1}^n\alpha_i)}$
  - 当 $j\omega$ 靠近极点时,幅频特性会产生一个峰
  - 当 $j\omega$ 靠近零点时,幅频特性会产生一个谷
  - 极零点靠近虚轴越近,相应的峰或谷越尖锐

2018-10-09

第六章、连续时间系统的系统函数（上）

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