Softmax

2018-11-16 本文已影响0人水之心

Softmax

我们令 $z =(z_1, z_2, \cdots, z_k)^T \in \mathbb{R}^k$ , 定义 softmax 函数为

$h_j(z) = \frac{e^{z_j}}{\sum_{i=1}^m e^{z_i}}$

这样， $h(z) = (h_1(z), \cdots, h_k(z))^T$

Softmax Regression 算法是 Logistic Regression 算法在多分类上的推广，下面考虑 $k$ 分类问题。假设我们有 $m$ 个样本 $D = \{(x_i, y_i)\}_i^m$ , 令 $X = (x_1, x_2, \cdots, x_m)^T$ , $y = (y_1, y_2, \cdots, y_m)^T$ , 其中 $x_i \in \mathbb{R}^n, y_i \in \{0, 1, \cdots, k-1\}$ 。将 $y_i$ 使用 one-hot 编码形式，仍然记作 $y_i$ , (比如 $y_i = j$ 便可将 $y_i$ 改写为一个 $k$ 维列向量，该列向量中的除了位置 $j$ 处的元素为 $1$ 外，其余元素均为 $0$ ). 这样 $y_i \in \mathbb{R}^k$ , $Y = (y_1, \cdots, y_m)^T \in \mathbb{R}^{m \times k}$

存在仿射映射 $f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^k$ , 满足 $f(x) = Wx + b$ . 其中 $W \in \mathbb{R}^{k \times n}, b \in \mathbb{R}^k$ . 对于 $D$ 中的 $m$ 个样本，我们可以定义其样本估计所属类别的条件概率为 ( $j = 0, 1, \ldots, k-1$ )

$P(y_i = j|x_i;W, b) = h_j(z_i)$

其中， $z_i = f(x_i)$ . 令 $H = (h(z_1), \cdots, h(z_m))^T$

根据极大似然估计算法，可定义 Softmax Regression 的损失函数 (交叉熵) 为

$\begin{aligned} J(W, b) &= - \frac{1}{m} \displaystyle \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^k (y_i)_j \log(h_j(z_i)) \\ &= - \frac{1}{m} \mathbf{1}_m^T \cdot (Y \odot \log(H)) \cdot \mathbf{1}_n \end{aligned}$

其中 $(y_i)_j$ 表示 $y_i$ 的第 $j$ 个元素， $\mathbf{1}_m$ 表示长度为 $m$ 的全一列向量。 $\log(H)$ 指的是对 $H$ 中的每个元素求 $\log$ 的操作。

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