1.7 从波函数中得到坐标，速度和动量 Position, ve

2020-05-23 本文已影响0人莎野椰

前言

我们知道量子力学体系的性质都encapsulated 在波函数里面, 波函数涉及到粒子的位置，速度，动量等信息。我们已经知道如何计算粒子在某一位置出现的概率（期望）笔记1.5，或者某一区间的概率。那么其他的动力学条件呢？比如动量，速度，这就涉及到算符，算符是量子力学的基本概念，他们把波函数与物理量联系起来。

1. 运动的重复测量

$\int_a^b |\Psi(x)|^2 dx$

$\langle x \rangle=\int_{-\infty}^{\infty} x \Psi^*(x) \Psi(x) dx$

2.1 什么是运动？

例子的位置和运动方程与测量方法密切相关，随着测量的密度增加，也就越能反应粒子的真实运动方程。
所以对于只能给出概率的波函数而言，想要获得真实运动路径需要进行一下操作：
- 准备很多相同的体系
  准备多个相同的系统供测量，保证运动方程一致
- 每个体系只测量一次
  每个系统仅测量一次是因为测量会影响系统的运动方程，再测量就会得到错误的结果
- 如何预测粒子的运动呢？
  可以计算粒子在某位置的概率随时间的变化 $\frac{d}{dt} \langle x \rangle$

2. 运动期望的“速率”

$\frac{d}{dt}\langle x \rangle=\frac{d}{dt} \int_{-\infty}^{\infty} x \Psi^*(x) \Psi(x) dx = \int x \underline{\frac{\partial}{\partial t} \Psi^* \Psi dx}$
$\because \frac{d}{dt} \int_{-\infty}^{\infty} |\Psi(x,t)|^2 dx =...=\int_{-\infty}^{\infty} \frac{i\hbar}{2m}\left( -\frac{\partial^2 \Psi^*}{\partial x^2} \Psi + \Psi^* \frac{\partial^2 \Psi}{\partial x^2} \right)dx$ $\color{red}{见笔记 1.6，part2}$
$\therefore \frac{d}{dt}|\Psi(x,t)|^2 = \frac{i\hbar}{2m}\left( -\frac{\partial^2 \Psi^*}{\partial x^2} \Psi + \Psi^* \frac{\partial^2 \Psi}{\partial x^2} \right) = \frac{\partial}{\partial x} \left[ \frac{i\hbar}{2m} \left( \frac{\partial \Psi}{\partial x} \Psi^*- \Psi \frac{\partial \Psi^*}{\partial x}\right)\right]$

$ = \frac{i\hbar}{2m} \int x \frac{\partial}{\partial x} \left(\frac{\partial \Psi}{\partial x} \Psi^*- \Psi \frac{\partial \Psi^*}{\partial x}\right)$
- Note:这里$\Psi与\frac{\partial \Psi^*}{\partial x}点乘不分先后$

$积分：\because u=x , du=dx ; dv = \frac{\partial}{\partial x} \left(\frac{\partial \Psi}{\partial x} \Psi^*- \Psi \frac{\partial \Psi^*}{\partial x}\right)dx , v= \frac{\partial \Psi}{\partial x} \Psi^*- \Psi \frac{\partial \Psi^*}{\partial x}$
$\therefore \frac{i\hbar}{2m} \int x \frac{\partial}{\partial x} \left(\frac{\partial \Psi}{\partial x} \Psi^*- \Psi \frac{\partial \Psi^*}{\partial x}\right)$ ,且归一化的波函数在无穷处归于0
$\require{cancel}= \frac{i\hbar}{2m} \left[ \cancel{x (\frac{\partial \Psi}{\partial x} \Psi^*- \Psi \frac{\partial \Psi^*}{\partial x})|_{-\infty}^{\infty}}-\int ( \frac{\partial}{\partial x} \left(\frac{\partial \Psi}{\partial x} \Psi^*- \Psi \frac{\partial \Psi^*}{\partial x}\right)dx ) \right]$
$= \frac{i\hbar}{2m} \left[\int ( \frac{\partial}{\partial x} \left(\frac{\partial \Psi}{\partial x} \Psi^*- \Psi \frac{\partial \Psi^*}{\partial x}\right)dx ) \right]$
$积分：\because u=\Psi, du=\frac{\partial \Psi}{\partial x};dv=\frac{\partial \Psi^*}{\partial x}, v = \Psi^*$
$\therefore = \frac{i\hbar}{m} \int \Psi^* \frac{\partial \Psi}{\partial x} dx = \langle \hat{v} \rangle$ 这就是速率算符

2.1 算符的期望

速率 $\langle \hat{v} \rangle = \frac{i\hbar}{m} \int \Psi^* \frac{\partial \Psi}{\partial x} dx$
动量 $\langle \hat{p} \rangle = \int \Psi^*(-i \hbar \frac{\partial}{\partial x})\ \Psi dx$
位置 $\langle \hat{x} \rangle = \int \Psi^* (x) \Psi dx$
由上面可以看出算符经常可以写成如下形式：
$\hat{x}= x \cdot \Box;\hat{v} = \frac{i\hbar \cdot \Box}{m} ;\hat{T} = \frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2 \cdot \Box}{\partial x}$
算符的组成：算符表达式点乘波函数，只有作用在波函数上，算符才是有意义的，算符的意义是把物理量（observable，期望)与波函数联系起来
对于复杂的算符
$\langle \hat{Q} \rangle = \int \Psi (\hat{Q}) \Psi dx$
$\hat{Q}= something\ with\ \hat{x}... and\ \hat{p}...$
任何复杂的物理量的算符，都是由简单的位置，动量算符等组合起来的，求解物理量其实就是求解算符的期望值 。
这个波函数是没有方向的，因此计算得到它的动量=0，但是这并不是测量每一次都是0，只是平均值=0：
image.png

1.7 从波函数中得到坐标，速度和动量 Position, ve

前言

1. 运动的重复测量

2.1 什么是运动？

2. 运动期望的“速率”

2.1 算符的期望

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