换个姿势学数学：复数前传

2019-02-15 本文已影响104人 d61f25068828

UX007

在UX006中谈到，在讲基本初等函数之前，需要先讲一下“复数”。

高中默认函数的定义域为“实数域”，不能对负数进行开方运算。

“复数”就是产生于此，引入之后就突破了这个限制，方便计算。

不过在谈论“复数”之前，我们先要回顾之前的几次“数系扩张”，主角分别是：“负数”、“分数”和“无理数”。

这对我们理解“复数”是很有帮助的。

自然数和整数

自然数

自然数以及加减法是数学的基础，其存在不言而喻。

人有十根手指，故自然数是十进制的。

自然数都可以表示成 $a10^0+a10^1...a10^(n-1)+a10^(n)$ ，这种形式。

上帝创造了自然数，其余的是人的工作.
--- 克隆尼克

负数

挣了一块钱，记+1；花出去一块钱该就记下-1。负数就这么出现了。

“花出去1和“-1”，哪种写法更简单？

显然是“-1”更简单。

“负数”的引入，是一种极大的简化。

学术点说，引入”负数“，可以让运算“封闭”。

例如， $5-7=-2$ 这样的运算，不会再是“特殊情况”。

怎么加减，都超不出自然数范围。

规范负数的运算

负数的运算不像自然数那么显而易见，需要对其运算规则进行规定。

规定的准则就是：要和现有的数系以及运算相兼容。

比如，负数乘法规定 $(-1)*(-1)=+1$ ， $+1*-1=-1$ 。

事实证明，这种规定是没有兼容性问题。

分数

从“加法”发展到“乘法”是很自然的；“除法”也就是“分”，生活也中随处可见。

比如，三个人平分九个苹果，那么就是 $9÷3$ ，每个人拿到 $3$ 个。

不过，这个运算会产生一个问题：如果三个人平分一个西瓜，该怎么表示呢？

$1÷3$ 这种运算显然是出现了一个漏洞，其结果无法用现在的数来表示。

为了方便，人们规定表示为 $1/3$ 这种形式。

分数就诞生了。

分数的BUG：除零问题

“除法”或者说“分数”，有一个显而易见的兼容性问题，也就是：除零问题。

为了避免这个问题，规定分母不能为零。

➣为什么分母就不能为零呢?

上学的时候，老师这样解释：分子可以为零，因为可以有一块蛋糕，但是没有人来分；但分母不能为零，因为没有蛋糕，也就没有分这回事儿。

这个解释是糟糕的，至少我就搞不清楚，到底是应该“没有人”，还是应该“没有蛋糕”。

事实上，这两种场景在现实生活中都会出现，而且我们也都不会称为“分”。

就拿分子为零来说吧：“我有一块大蛋糕，现在我要分了，我谁也不给”。

说出这种话的人，一样会被当作疯子，如果说多了是要被揍的。

并不存在什么现实生活中的理由，这就是一个BUG。

如果允许 $\frac{1}{0}=0$ ，那么之前的数系或者除法规则，必须有一个崩溃。

因为， $\frac{2}{0}=0$ 并且 $\frac{1}{0}=0$
根据除法的已有规则
得出， $2=1$
这个规则会推出矛盾

蛋疼

这个BUG实际上非常蛋疼，你一定写过几千遍 $(x≠0)$ 。

从此之后，只要看到数字里出现分数，就要考虑“除零”问题.

从这个例子中能看到“封闭性”的好处。

引入抽象的概念来解决问题，看似变复杂了，实则是让事情变得简单了。

如果有一个大洞，要时时刻刻提防，损失太大了。

这也就是FQA中我所说的“定义都是迫不得已”的意思：虽然定义新概念很繁琐，但是如果不这样做，后果就更严重。

顺便提一句，有理数集合常用“Q”表示，因为“Q”是“quotient”(商)的首字母。

无理数的出现

无理数是在“第一次数学危机”中出现的。

数学家们在此之前一直认为，一切数都是“可公度”。

也就是说，一切数都可以用整数来表示。

但是当几何发展到一定程度的时候，人们突然发现，边长为 $1$ 的正方形的对角线，不可公度。

$x^2=1*1$

如果， $x$ 是可公度的，那么最终会推出一个矛盾的结论。[1]

对于 $x$ 的开方运算，其结果就被标记为 $\sqrt{2}$ 了

翻译的失误

irrational number 在英文中的真正意思是“不可分数”，其实和“分数”正好是相反的，非常好理解。

因为 rational 还有个意思是“有道理的”，当时的数学家徐光启就翻译成“无理数”了。

其实和“有没有道理”是无关的。

“有理数”叫“分数”；“无理数”叫“非分数”。不管是从翻译还是从理解的角度来看，都是更好的选择。

总结

数系在历史上扩张过很多次。
发明数学概念往往是为了“简化问题”。
新概念的重要要求是：兼容性。
运算漏洞后面，往往另有乾坤。

注释

[1] “ $\sqrt{2}$ 不是分数”的证明如下：
$x^2=1^2+1^2=2\\ 设x=a/b，并约分到最简。\\ 带入后得到，a^2/b^2=2\\ a^2=2b^2\\ \because b^2 的系数为 2\\ \therefore a一定是偶数\\ 设 a=2r，则r一定是整数 \\带入之前的式子 \\可以推出 2r^2=b^2 \\ 同理，b一定是偶数。\\ \because 该结论与 a/b 不可约矛盾。\\ \\\therefore x不是分数。$

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作者信息

我是心如止水，欢迎你和我换个姿势学数学。

心如止水：阅读思考践行