8.线性振子，均匀场，透射系数

2021-01-27 本文已影响0人 Obj_Arr

这几节有着大量的运算，但是几乎都是在解薛定谔方程。之前我在这上面纠缠了很长时间，但是没什么意义，毕竟微分方程的求解是很复杂的事情，推导起来很不容易，也没有这个必要，并且在研究求解的方法时得到了很多非初等的函数，像艾里函数，超几何函数，勒让德函数，厄米多项式，等等，他们之间的性质错综复杂，要想弄明白实属不易，可以利用一些碎片时间来学习。现在主要还是基础理论的学习，也就暂时跳过这些具体求解的内容。

那么，这几节在将什么东西，按照之前的讨论，粒子的能量与势能的关系，有限运动和无限运动，以及与离散谱和连续谱的联系。

线性振子其实就是弹簧，有着特殊的势能表达式，就是弹性势能 $U=m\omega ^2x^2/2$ 。于是求解其波函数就是求解薛定谔方程 $\frac{d^{2} \psi}{d x^{2}}+\frac{2 m}{\hbar^{2}}\left(E-\frac{m}{2} \omega^{2} x^{2}\right) \psi=0$ 。还有矩阵法，就是用算符的矩阵形式得到矩阵方程来求解本征值和本征函数（就是定态波函数）。

$E_{n}=\left(n+\frac{1}{2}\right) \hbar \omega, \quad n=0,1,2, \cdots$

$\psi_{n}(x)=\left(\frac{m \omega}{\pi \hbar}\right)^{\frac{1}{4}} \frac{1}{\sqrt{2^{n} n !}} e^{-\frac{m \omega}{2 \hbar} x^{2}} H_{n}\left(x \sqrt{\frac{m \omega}{\hbar}}\right)$

最后得到这么一堆，本征值形式还比较简单，也是很常用的，波函数就太复杂了，不好用。

振子能级基态为 $\hbar\omega/2$ ，之后相邻的两个态间相差 $\hbar\omega$ 。

然后是均匀场中粒子的波函数，均匀场中的势能坐标函数是 $U=-Fx$ ，所以薛定谔方程为

$\frac{d^{2} \psi}{d x^{2}}+\frac{2 m}{h^{2}}(E+F x) \psi=0$

作变量代换

$\begin{array}{c} \xi=\left(x+\frac{E}{F}\right)\left(\frac{2 m F}{\hbar^{2}}\right)^{1 / 3} \\ \end{array}$

方程就变成了

$\psi^{\prime \prime}+\xi \psi=0$

求解后得到波函数表达式为

$\psi(\xi)=A \Phi(-\xi)$

其中 $\Phi(\xi)=\frac{1}{\sqrt{\pi}} \int_{0}^{+\infty} \cos \left(\frac{1}{3} u^{3}+u \xi\right) \mathrm{d} u$ 以及 $A=\frac{(2 m)^{1 / 3}}{\pi^{1 / 2} F^{1 / 6} h^{2 / 3}}$

于是，这两种特殊势场中的波函数就知道了。

最后是透射系数，反映的是粒子穿透势垒的几率，对于经典力学，如果粒子能量低于势垒，那绝对穿不过去，最后都要反弹回来，但是量子力学中由于粒子是一团东西，分布在一个能量范围内，名义上能量的值不过是概率最大的均值，粒子可以取得能量其实是在很广的范围内的，自然存在比均值要大的值。

其实，概率就像积分一样，我们可以认为粒子具有所有可能取到物理量范围的值，对每一种情况都计算一遍，然后通过加权平均的方式得到整体的一个值。这就像积分理论中，对于积分区域内的所有的函数值都要知道，最后根据其定义域所表现出的测度来决定其所占的比重，最后得到一个数值。在这个过程中，通过零测集的性质，使得几乎处处有定义的函数一样可以积分，从而使得一些性质古怪的函数也纳入了可积函数中去。量子力学中的情况又有什么区别呢？物理量的平均值不过是将概率作为加权函数，也就是一种正测度，对区域内的物理量值进行积分的过程，最后得到一个数值，就是均值。所以，有些东西看着复杂，其实框架是很简单的，不过是填充了复杂的东西罢了。

说回正题，这个透射系数反射系数，其实还是求解波函数，只是将势场分成了几块，一块是主要的粒子运动区，一块是墙壁内就是势能值很大的那一区域，一块是穿透区，就是看似不应该到达的区域。

看上图，最左边的A区，一团东西往右运动，结果碰壁了，一部分弹了回来，一部分继续向前运动，到达了中间的B区，在墙壁中自然很难前进，不断有部分东西被弹回来，而那些能量很高的部分仍在继续前进，最后冲破墙壁到达了外面的C区，那么透射系数就是指这些高能的部分占了多大的比重。类似的还有反射系数，由于这一团东西不可能呆着不动，所以，入射的部分就等于反射和透射的部分值和。也就是这两个系数相加就是1。

就到这里了。抄公式还挺累的，虽然抄了不代表就能推出来，不过，混个眼熟手熟，就不至于害怕了，虽然那么长，也不过是加减乘除，构造上没有什么特别的地方，也就只是量的堆积，没有质的变化。然后是粒子波函数的理解，虽然很难找到实际例子的对应，但是姑且可以认为是单个粒子分离出去的无数的虚粒子，虚粒子具有所有可能的物理量取值，并且其相对数量由波函数的概率分布所决定，而进行测量时却只能测得他们最终聚集成的实粒子的物理量。也就是一个不可分割的系统，像一个黑箱一样，只能通过外部接口来测量他，而不能去拆开他，或者说现在的科学水平还没有找到拆开他的方法，毕竟多个粒子的波函数是可以互相作用的，而我们的测量却做不到。

然后是中间引入的积分理论的部分，熟悉的人应该知道那就是测度理论，实变函数就是其中比较基础的部分，讲欧式空间中的勒贝格测度，勒贝格积分，如果目光放远一些，就是抽象测度理论，可测空间上的积分，概率本身其实也可以看作是一种测度，具有正值，可数可加等性质，概率空间就是对欧式空间赋予了一种概率测度，求某一分布的均值，就变成了对某一函数在概率可测空间中的积分。

8.线性振子，均匀场，透射系数

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