原文：Brett Berry       /    译文：藏精阁

估计你们都看过这个好像是段子的新闻了。为什么题目里的算法是错的？这是好问题。

5 x 3 = 5 + 5 + 5 居然不对，这看起来很荒诞，不是吗？

可以归结为一个理由

相等 VS 等价

原因仅仅在于，两个相等的东西并不意味着它们是等价的。

根据定义，相等的意思是，“在数量，大小，深度，或者价值方面一样。”而等价，则是“在价值，数量，功能，或者意义方面的对等。”

上文中的5x3和5+5+5相等，但它们并不必然等价。等价与意义有关，它取决于乘法的意义，正如方位的指向。

我做了件之前从未做过的事，我查阅了乘法的定义。

"multiplication"，via wikipedia

正如我怀疑的那样，乘法中的第一个“值”是倍数，第二个“值”是被乘数。

所以根据定义，5x3和5个3，或者那个老师标注的3+3+3+3+3是等价的。5x3和5+5+5的算术结果相等，但并不等价。因为3个5是另外一回事。

举个例子，3组每5个为一组的香蕉跟5组3个为一组的香蕉不一样，尽管香蕉的总数一样，都是15。二者的结构不同。

再举个例子，30 ÷ 2也等于15。但30 ÷ 2能代表乘法吗？

                      30 ÷ 2 = 15

显然不能，它表示的含义是分割。因此，5+5+5和30 ÷ 2的算术结果相等，但二者并不等价。

我弄清区别了，但这是不是有点过于苛刻？

这得看情况。如果老师已经教了乘法交换律（a x b = b x a），那么这种变换就无伤大雅。

如果老师还没有教，那么让学生继续那种想法就不太明智。

为什么？

一个常见现象是，对于初学者来说，在二元运算里，当不同层级的价值可以互换的时候，他们很容易产生困惑。

我们知道以下算式并不相等：

小孩子发现有些时候互换数值没错，有些时候却不对，这很容易让他们感到不解。通过把关注点放在这些运算的含义上，并跟上下文对应起来的手段，老师试图让学生远离这种低级错误。

可是那个答案没错啊，为什么数值的意义稍有区别，就变得十分要紧？

如今，对学生而言，从小就理解“结果上的相等”和“意义上的等价”的区别比过去的任何时代都更重要。因为这是计算机科学的基本概念。

在编程当中，两个东西相等或等价（同一、完全一致），二者区别很大。

相等意味着它们的数值一样，比如5+5+5

= 30 ÷ 2 = 15 。

等价不仅意味着数值上的相等，还意味着它们是相同的数据类型。

换句话说，它们表示的的同一个东西。

基于不同的语言，看起来一样的数值和表达式并不总是同一个东西。

比如，在JavaScript中，如果我们用操作符 == 作相等测试：

·“4”== 4 returns True

因为二者都指的是数字4。但是如果我们用操作符===再来一次，结果是这样：

·“4”=== 4 returns False

因为它们不是同一个元素。左边的是string字符串，而右边的是一个数字。

(注：如果你想更深入地讨论JavaScript里的==和===，请点击此链接查看。)

矩阵乘法该有的思维模式

注意到了么，上面的第二个例子也被标为错误。为什么用4列6代替6列4那么重要？

这不仅源于乘法的定义，它还教给学生图解矩阵的正确指令，即列数乘以行数。

保持列与行的线性在矩阵乘法中相当重要。矩阵用行符列符m x n来标记。

把矩阵乘起来，你用第一个矩阵的行数乘以第二个矩阵的列数。第一个矩阵的列数必须跟第二个矩阵的行数相等，否则，你没法将它们相乘。

比如，我们可以用一个2 x 3 的矩阵乘以一个 3 x 4 的矩阵。然而如果我们交换指令用一个3 x 4矩阵乘以一个2 x 3 矩阵，那么就没有足够的列和行，运算就没法完成。

学生学习正确的乘法定义和图解异常重要，之后他们就不会被搞晕了。

我知道这令人沮丧，但是尊重那些老师吧。

他们在孩童教育方面是合格的专家。对于学生，他们心中有着最良好的心愿。如果你感到困惑，在你抨击他们并晒到网上之前，先去问问他们为什么那么做。