初探数学思维（四）：数学分支介绍：几何学

Geometry:几何

几何学的范畴

1.欧式几何

• 欧几里创立的几何学
• 公理是适用于一切科学的真理

2.非欧几何

• 主要指罗巴切夫斯基几何和黎曼几何。
• 三种几何的基本差别在于平行公设，故凡是与平行公设无关的欧氏几何的定理在三种几何中均成立。凡是与平行公设有关的欧氏几何的定理在其他两种几何中都不再成立。
• 非欧几何是球面上的几何学，黎曼几何能在球面上实现，罗氏几何能在伪球面上实现。

3.解析几何

• 数形结合
• 利用代数方法解决几何问题。
• 解析几何使数学研究以几何为主导转变为以代数和分析为主导，以常量为主导转变为以变量为主导，为微积分的诞生奠定了基础。数和形的和谐统一为人们带来了新的思维方式，帮助人们从三维的现实空间进入更高维的虚拟空间，摆脱了现实的束缚，从有形飞越到无形。

4.射影几何

• 射影几何学是一门研究在把点射影到直线或平面上的时候，图形的不变性质的几何学（一度也称为投影几何学）。

5.拓扑学（橡皮几何学）

• 欧拉公式（欧拉多面体公式）
• 通俗地讲，拓扑学关注图形这样的性质：当这些图形在任意方向以任意大的力量被拉伸，只要不被撕裂、切割时，保持不变的性质。
• 现在的拓扑学可粗略定义为对连续性的数学研究。

6.微分几何

• 在解析几何的基础上，若要研究更复杂的图形，这些图形可能对应比较复杂的代数方程，甚至不能用代数方程来表示，而需要借助微积分作为工具，由此产生了微分几何。
• 微分几何是以分析的方法来研究几何性质的一门数学学科。