多元函数微积分学

2020-06-28  本文已影响0人  君慕獨奏

多元函数微积分学初步

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二元函数

记作z = f(x, y)，其中x和y的范围为定义域

例题一

解题：x-y>0\Rightarrow D = {{(x, y)|x-y>0}}

例题二

解题思路：这种题型是由复杂到简单。我们应该用换元或者错位分的方法。

解题：

则有f(a, b) = a^2 - 2b,所有就有了f(x, y) = x^2- 2y

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2. 二元函数的几何意义

（1）一元函数y = f(x)在平面中表示一条曲线 

（2）二元函数z = f(x, y)在空间中表示一个曲面

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3. 二元函数的极限

若点p(x,y)沿任意路径无限接近p_{0} (x_{0}, y_{0})时，f(x, y)总无限接近一个确定的常数A，则称A为二院函数f(x, y)，当p(x, y)\rightarrow p_{0}(x, y)时的极限记作：

\lim_{(x, y)\to(x_{0}, y_{0})} f(x, y) = A 或 \lim_{x\to x_{0}, y\to y_{0}} f(x, y) = A

注：用一元函数求极限的方法去做

        等价代换

        两个重要极限

        0*有界 = 0

        根式有理化

        没有洛必达

        ……

例题一

解题思路：这理，我们可以应用到的是等价无穷下代换，把sin\ xy变换成xy，原由就是xy = 0，然后再进行计算，得出答案

例题二

解题思路：这里，我们一眼看过去，有根号的，肯定要进行有理化，去根号。化简、代入、得答案

例题三

解题思路：我们首先判断的是，这是一种1^∞型，但我们也要注意的是\frac{x^2}{x+y} ,这里我们用抓大头的方法，直接算出是等于x的即是∞

例题四

解题思路：这里是0 * 有界 = 0、所以……

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4. 二元函数的连续

\lim_{(x, y)\to(x_{0}, y_{0})} f(x, y) = f(x_{0}, y_{0}),则称二元函数z = f(x, y)在点(x_{0}, y_{o})处连续

例题一

解题思路：我们先代入(0, 0)，换成极限。然后我们就可以判断出，这是0*有界函数，即是0。极限值跟函数值都是等于0， 所以有连续性。

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偏导数(这一小节的d□全指的是偏导的符号)

（1）定义

对x求偏导：f_{x}(x_{0}, y_{0}) = \lim_{x\to x_{0}|y\to y_{0}} \frac{f(x, y_{0})- f(x_{0}, y_{0})}{x-x_{0}} ；y是常数，x是变量

对y求偏导：f_{y}(x_{0}, y_{0}) = \lim_{x\to x_{0}|y\to y_{0}} \frac{f(x_{0}, y_)- f(x_{0}, y_{0})}{y-y_{0}} ；x是常数， y是变量

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（2）记作形式

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（3）求偏导方法

二阶混合偏导，连续时相等

1、简单的初等函数求偏导

解题思路：可以看出要求分别为：对x的偏导、对y的偏导、对x的二阶偏导、对y的二阶偏导、对xy的二阶混合偏导|、yx的二阶混合偏导。

\frac{dz}{dx} = 2xy + 2x\Leftrightarrow \frac{dz}{dy} = x^2+3

\frac{d^2z}{d^2x} = 2y+2\Leftrightarrow \frac{d^2z}{d^2y} = 0

\frac{d^2z}{dxdy} = 2x\Leftrightarrow \frac{d^2z}{dydx} = 2x

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2、具体的复合函数求偏导


例题一

解题思路，这是一个复合函数求偏导，按照公式即可。

\frac{dz}{dx} = cos(xy)*y = ycos(xy)

\frac{dz}{dy} = cos(xy)*x = xcons(xy)

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3、抽象复合函数求偏导

例题一

解析，这是一个抽象复合函数。所以用链式法则。

z_{x} = f_{1}’*1 + f_{2}’*y = f_{1}’ + yf_{2}’

z_{y} = f_{1}’*1 + f_{2}’*x = f_{1}’ + xf_{2}

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4、隐函数求偏导

注意：由方程…………确定，那么隐函数求导

例题一

演示步骤：

①令F(x, y, z) = xz- yz- x+y = 0

②、F_{x} = z-1；F_{y} = -z+1;F_{z} = x-y

③\frac{dz}{dx} = -\frac{F_{x}}{F_{z}} = \frac{1-z}{x-y}     ;  \frac{dz}{dy} = -\frac{F_{y}}{F_{z}} = -\frac{-z+1}{x-y} = \frac{z-1}{x-y}


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全微分

1、全微分的计算

（1）全微分公式：


例题一 ：全微分

解题

例题二： 隐函数求偏导类型求全微分

解题

例题三：抽象的复合函数求偏导再计算全微分

解题：

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