3. 样本量的确定

2019-07-21 本文已影响0人水墨点滴

抽样中样本量的确定是一个非常重要的问题，在不考虑抽样成本的前提下，样本量越多估计的越准，然而实际情况中我们需要平衡抽样成本与估计结果的置信度——以尽可能低的样本得到尽可能高的置信结果。

1.均值估计的样本量

先来说一个简单的例子
【例子】假设我们想估计一个学校中学生的平均身高。希望误差能控制在d=1cm范围内，那么至少要抽取多少学生数呢？

假设学生的身高是随机变量 $x$ , 我们知道均值是近似服从正态分布的。当样本量较大的时候可以直接用正态分布进行置信区间估计，当样本量较小的时候可以用t分布进行置信区间估计。
检验的置信区间是 $[ \bar x \pm t_{\alpha/2}\frac{s}{\sqrt n} ]$ , 因此有
$d=t\frac{s}{\sqrt n} 或者 d=z\frac{s}{\sqrt n}$

从而可以推出来所需要的样本量
$n=\frac{t^2s^2}{d^2}或者n=\frac{z^2s^2}{d^2}$

说明：

这里 $s^2$ 即为方差，可以通过样本进行估计
$d$ 是实验的临界误差，在这个例子中是1cm，在不同的场合下没有一个固定的办法去确定一个合适的d，比如就是误差是在1cm可以接受，还是0.1cm可以接受，这个往往由具体的业务场景来人工决定。
对于大样本来说，z检验其临界的水平可以直接查表或者计算出，但是当小样本时候，t检验来说略微有些不同。因为t检验的t值还取决于本身的自由度df=n-1,其也是关于n的函数。

小样本的t检验迭代法

(1) 先用z分数替代t分数，计算所需的样本量n
(2) 根据计算出来的n，在df=n-1的条件下，用t分数替代上一步的z分数，重新计算所需样本量n
(3) 由于t分布比z分布扁平一些，相同置信度下，t分数>z分布。所以(2)新估计出来的n要比(1)的略大。
(4) 依次重复该步骤，当发现相邻两次迭代中n(取整之后)相同，则停止迭代流程即可。

没有方差的预估

前面说明中 $s^2$ 为方差，可以通过样本进行预估，假设我们很不幸连方差的样本信息也没有该怎么办呢？

$n=\frac{t^2}{e^2}或者n=\frac{z^2}{e^2}$
其中 $e=\frac{d}{s}$ 即我们不去关注方差的情况，而关于误差相比于标准差的比例，即标准化d。

如何控制变异性
在实验设计时候，我们可以控制实验的显著性水平 $\alpha$ ，临界差值d的大小，以及最终的样本量。那边在实际做问卷调查的时候，如何去尽量减小数据的变异性呢。《用户体验度量》一书中给了一些可供参考的建议：

确保被测者了解他们应该做什么，或者在不透漏信息的条件下让他们提前熟悉测试华景。
如果合适使用专家测试而非新手用户。如果两个都需要，那么可以针对两组用户不同的样本量。
对可能和均值、方差相关的测量进行数据转换。比如一些有偏态分布的做对数转换。

2.二项分布估计的样本量

与均值的类似，
(1)在大样本条件下
$n=\frac{z^2\hat p(1-\hat p)}{d^2}$
在p未知的情况下，可以用其上限p=0.5进行估计。

(2)小样本条件下
根据wald矫正的p进行估计

3. 样本量的确定

1.均值估计的样本量

2.二项分布估计的样本量

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