角格点通解之三角法

2023-01-05 本文已影响0人剑心折手

角格点定义

英文是：Adventitious Angles。
没有读过《三角形中的角格点问题》这本书。
我的理解：只要是三角形的凑巧角与凑巧边的问题，都属于角格点问题。

我认为三角法是通解

大家平时把三角法作为一种解法。
几何法，做的辅助线往往匪夷所思，真正考试时基本上想不出来。
我最近做的题，感觉三角法可以做为通解。
三角法往往是好列难求。我今天就主要讲讲三角法如何解？

解三角法的核心

三角法用正弦定理
现实是猜出答案比求出答案要简单的多。
角多数可以猜出（特值），所以不用直接去推导。
利用Ctan在(0,PI)之间单调性，加上特值法，即可求解。

实践一（并分析）

（注）红色部分推导过程相当麻烦。如果我们能猜出，这个过程就可以直接省去。

实践二

image.png

角塞瓦公式

公式：

实践三：角格点中的角塞瓦问题

关于如何猜值：我用程序运行了一下，10度、5度、6度倍数，大家可去找规律。

    [10, 10, 100, 10, 20, 30], #包含10,20,30
    [10, 20, 70, 10, 30, 40],  #包含10,20,30
    [10, 20, 80, 20, 20, 30],  #包含10,20,30
    [10, 30, 60, 20, 20, 40],  #包含10,20,30
    [10, 40, 50, 20, 30, 30],  #包含10,20,30
    
    [5, 20, 95, 10, 20, 30],   #包含5,30
    [5, 25, 65, 5, 30, 50],    #包含5,30
    [5, 25, 85, 10, 25, 30],   #包含5,30
    [5, 30, 75, 10, 25, 35],   #包含5,30
    [5, 40, 65, 15, 20, 35],   #包含5,30
    [5, 50, 55, 15, 25, 30],   #包含5,30
    [15, 15, 75, 15, 30, 30],  #包含15,30

    [6, 6, 126, 6, 12, 24] ,   #包括6,12,24
    [6, 12, 96, 6, 18, 42] ,   #包括6,12,18
    [6, 12, 102, 6, 24, 30] ,  #包括6,12,24
    [6, 12, 114, 12, 18, 18] , #包括6,12,18
    [6, 18, 78, 6, 24, 48] ,   #包括6,18,24
    [6, 18, 84, 12, 12, 48] ,  #包括6,12,18
    [6, 18, 96, 12, 18, 30] ,  #包括6,12,18
    [6, 24, 66, 6, 30, 48] ,   #包括6,24,30
    [6, 24, 84, 12, 24, 30] ,  #包括6,12,24
    [6, 30, 66, 12, 18, 48] ,  #包括6,12,18
    [6, 30, 72, 12, 24, 36] ,  #包括6,12,24
    [6, 30, 78, 18, 24, 24] ,  #包括6,18,24
    [6, 36, 42, 12, 12, 72] ,  #包括6,12
    [6, 36, 66, 18, 18, 36] ,  #包括6,18
    [6, 42, 48, 12, 18, 54] ,  #包括6,12,18
    [6, 42, 54, 12, 24, 42] ,  #包括6,12,24
    [6, 48, 54, 18, 24, 30] ,  #包括6,18,24

    [12, 12, 84, 12, 18, 42] , #包括12,18
    [12, 18, 72, 12, 30, 36] , #包括12,18,30
    [12, 18, 78, 18, 24, 30] , #包括12,18,30
    [12, 24, 66, 18, 30, 30] , #包括12,18,30
    [12, 30, 48, 18, 18, 54] , #包括12,18,30
    [12, 30, 54, 18, 24, 42] , #包括12,18,30
    [12, 36, 48, 18, 30, 36] , #包括12,18,30
    [18, 24, 54, 24, 30, 30] , #包括18,30