线代--正交基和标准正交基

2022-07-23 本文已影响0人倪桦

描述一个空间，有两种方式，一种方式是维度，另一种方式就是空间的基，空间的基是一组向量，其中这组向量的个数就是空间的维度。

在一个 $n$ 维空间的任何一组 $n$ 个线性无关的向量，都是这个 $n$ 维空间的一组基。

一般为了研究方便，我们更倾向于选择使用空间中的一组互相垂直的向量构成的基，也即 $\color {red}{\small 正交基}$ 。通过正交基来描述空间中一点的位置信息相比非正交基要更方便。

正交的定义

正交的意思就是垂直，在欧几里得空间中，当两个向量互相垂直，那么它们点乘的结果就为0:
$\vec u \cdot \vec v = u_1\cdot v_1 + u_2\cdot v_2 + \cdots + u_n \cdot v_n= \| \vec u \| \cdot \| \vec v\| \cdot \cos \theta$
两向量夹角 $\theta = 90^ \circ \to \cos \theta = 0 \to \vec u \cdot \vec v =0$
$\uparrow \uparrow \uparrow$ 因此在线性代数领域中定义的正交，就是两向量点乘的结果为 $0$ ，说明两个向量互相垂直，称两个向量正交。

正交向量组：一组两两正交的向量，称为正交向量组。从这组向量任意取出两个向量都是满足正交的。

对于一组正交 $\color {darkred} {\small 非零}$ 向量组来说，它们一定线性无关:

零向量是一个特殊的向量，它与任何向量点乘的结果都为零，意味着它与任意向量都垂直；
因此，对于一组正交向量组来说，内部就有零向量 $O$ 的存在。但是当引入了在正交向量组中引入零向量之后，这组向量就一定线性相关了，因为根据线性相关的定义，零向量前面的系数 $k_o$ 可以取任意非零值，也就是会存在一组非全零的 $k$ 使得 $k_1\vec v_1 + k_2\vec v_2+\cdots + k_p\vec v_p + k_oO = 0$ 这条等式成立。所以，当抛去正交向量组中的零向量之后，就有剩下的正交向量呈线性无关。从欧几里得空间来看，线性相关可以想象成是两向量共线，三个向量共面，四个向量共体这种关系，总之就是一组向量中某一个向量可以表示成其它向量的线性组合。当一个不含有零向量的向量组里内两两向量间互相垂直的情况下，就有对于方程：
$k_1\vec v_1 + k_2\vec v_2+\cdots + k_p\vec v_p = 0$ 只有唯一零解。
关于方程 $\uparrow$ 只有唯一零解的证明
当从一组正交非零向量组中取出任意一个向量与方程两边进行相乘可以得到： $(k_1\vec v_1 + k_2\vec v_2+\cdots + k_p\vec v_p) \cdot \vec v_i = 0 \cdot \vec v_i = 0$
展开后，由于向量组里内两两向量间互相垂直，所有 $\vec v_i$ 与向量组内的其它向量点乘结果为零，除了与向量组内的自己点乘的时候不为零:
化简后得到 $k_i \cdot \vec v_i \cdot \vec v_i = 0 \to k_i \|\vec v_i \|^2 = 0 \to \|\vec v_i \|^2 >0 \to k_i =0$
$\therefore$ 同这这种方式，循环可以求解出方程 $k_1\vec v_1 + k_2\vec v_2+\cdots + k_p\vec v_p = 0$ 的解 $k$ 全为0，所以这个方程只有唯一零解；
所以一组正交非零向量组内的任意一个向量都无法表示为其它向量的线性组合，它们都是线性无关的。