连续

2020-05-11 本文已影响0人君慕獨奏

一. 函数的连续性

连续的几个重要的概念：

1. 左连续是等于右连续的

2. 函数值等于极限

例子一

解析：此函数是连续，那做就是左极限等右极限了，然后代入就可以得出答案

例子二

此函数是连续的，所以我们就可以用，左极限等于右极限的定义去求。注意在x < 1的函数里我们需要用到的是无穷代换，化简了函数后，在让他等于x =1的函数可以求出a，最后X =1 的函数等于 x>1的函数进行比较。最后得出b。a = 2， b = 1

二. 函数间断点及类型的判定

1. 间断点的定义

即不连续的点（无定义点处或分段点处）

2. 间断点的分类

第一类：

可去：左 = 右

跳跃：左 ≠ 右

第二类：

无穷：左或右出现∞

振荡：令x = 0时， $y = \sin x^1 或 y = \cos x^1$ 。

3. 解题技巧

一定要先从他们的左右极限下手，现场求出他们的左右极限

三、零点定理判断方程根的存在性

1. 零点定理：

若是f(x)在[a, b]上连续，且 $f(x)*f(b) < 0$ ，则 $\exists \varepsilon \in (a, b),使f(x) = 0$

2. 判断步骤：

(1). 构造函数f(x);

(2). 验证2个条件;

①连续

② $f(x)*f(b) < 0$

(3). 由零点定理可知 $\exists \varepsilon \in (a, b),使f(x) = 0$

3. 仅一个根(唯一性)的证明步骤

(1). 在2的基础上求导判断单调性即可

四. 例子1

思路：因为零点也是只少有一个根，所以从零点定理出发先证明他是连续的，再证明他的 $f(x)*f(b) < 0$ 。然后 $\exists \varepsilon \in (a, b),使f(x) = 0$ 。最后得出结论

解法：

例题2

证明： $令F(x) = f(x) - x$

即是 $f(x) = x在(a, b)内至少有一个根。$

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