Midpoint convexity及其推广

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先补充一下闭集（closed set）的定义：集合C为闭集当且仅当C包含C的所有极限点(limit points)。具体可见https://en.wikipedia.org/wiki/Closed_set

证明如下：
即证： $\forall a,b \in C, \theta \in [0,1], \theta a+ (1 - \theta)b \in C$
记 $x = \theta a+ (1 - \theta)b,a_{0} = a, b_{0} = b$
依据如下定义，构造 $\left \{ a_{n} \right \}, \left \{ b_{n} \right \}$ :
(i)若x在线段 $l_{[\frac{a_{n-1} + b_{n-1}}{2},b_{n-1}]}$ 上,则 $a_{n} = \frac{a_{n-1} + b_{n-1}}{2}, b_{n} = b_{n-1}$
(ii)若x在线段 $l_{[a_{n-1},\frac{a_{n-1} + b_{n-1}}{2}]}$ 上,则 $a_{n} = a_{n-1}, b_{n} = \frac{a_{n-1} + b_{n-1}}{2}$
显然， $\left \| b_{n} - a_{n} \right \|_{2} = \frac{\left \| b - a \right \|_{2}}{2^{n}}$
注意到， $\forall n \in N, a_{n} \leqslant x \leqslant b_{n}$ ，即 $\left \|x - a_{n} \right \|_{2} \leqslant \left \| b_{n} - a_{n} \right \|_{2}$
$\lim_{n\rightarrow \infty } \left \|x - a_{n} \right \|_{2} \leqslant \lim_{n\rightarrow \infty } \left \| b_{n} - a_{n} \right \|_{2} = 0$
$\therefore x = \lim_{n\rightarrow \infty }a_{n} = \lambda$
$\because a_{n} \in C$ , C为闭集(closed set), $\therefore \lambda \in C, \therefore x \in C$ #得证

Midpoint convexity及其推广

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