阿基米德和刘徽是如何计算圆周率的（七）

比较两人的工作

（1）阿基米德计算的圆周率在 223/71 和 22/7之间，日常用 22/7

          刘徽计算的圆周率在 3.141024 和 3.142704之间，日常用3.14,

          更精确场合用更精确的近似值3.1416

（2）阿基米德使用比例计算，刘徽使用面积计算

（3）阿基米德使用相似三角形对应边成比例定理，角平分线性质定理,不等式;

          刘徽使用勾股定理，等式。

（4）阿基米德从内外两面，用基本相同的方法计算，方法显得古拙，大气;

刘徽从内部计算，最后对数值进行巧妙处理，方法显得精巧，灵活。

（5）阿基米德不告诉你如何用分数逼近开平方的无理数;刘徽不告诉你如何用已有的数据估值未知。

（6）本质的比较

本质的比较

阿基米德是在计算比例，用现代的观点看，表面上看是计算余切和余割，本质上使用的是正切和正弦。也就是弧度制下的 sin(x) < x < tan(x) 。上图中，取自单位圆，半径为1。DF是正弦线，BE是正切线。阿基米德利用的是弧线比DF长，比BE短来证明。把阿基米德的方法等价成为面积法，近似就是扇形CBD的面积比三角形CBD大，比三角形CBE小。(三角形CBD的边BD没有画，但可以肯定是在弧 BD 内部，比弧线短)

刘徽的方法是计算面积，内部同阿基米德一样，还是扇形比三角形CBD面积大，外面范围缩小了一点点，从三角形CBE上，减去角落里的EDG，这样得到一个四边形 DGBC，扇形面积比这个四边形小。

不等式

先证明上面的不等式。然后看刘徽计算的四边形由三角形和矩形两部分加起来：

sin(x)cos(x)/2 + [1-cos(x)] sin(x) = sin(x)(1-cos(x)/2)

正切线对应的三角形面积为 tan(x)/2

由上面的不等式可以看到，刘徽的估值更加接近。从一面获得比两面更加精确的估计，不能不说技巧高超。但舍去的那一部分确实是更小更小的部分，可以忽略不记，加上或者减去没什么影响，因此，阿基米德的计算显得更加狂放和不据小节。

上面一组不等式可以写成

sin(x)cos(x) < sin(x)  < 2sin(x/2) <  x  <  sin(x)(2-cos(x))  < tan(x)

分别对应于小三角形面积，半弦，弦、弧，四边形面积，大三角形面积。实际上，当x从正方向趋向于0,成为无穷小的时候，上面几个值都差不多大，很多时候可以相互替换。用x两边的值都可以夹住x。

因此，现在世界上人们用的圆周率都是差不多一样大小的。这是各种文化最统一的认识。