关于可数集

关于可数集和不可数集的概念

这个数学对象的名字非常好
如果一个集合可以数，它是可数集，不可以数就是不可数集。
但是相对于真实世界（可以简单类比一下计算机的有限步遍历），这里还是有一些微妙的差异。
数学里的可数，和现实世界的可以数完，还是存在鸿沟

把自然数集合这么列出来
{1,2,3,..n, n+1...} 可以以一种和丝滑的逻辑推演下去，不断加1，以至于无穷远。
而不是对现实世界“可以数完”简单的有限集合定义为可数的，这是数学的一个妙处。

如果有限集合就是可数集合。那么像自然数集合这种对象，我们就好像没什么可说的，它本身内蕴着一些特性，没法用有限集合表现出来，它是无限的——有一个很整齐的规律的无限

人们在研究实数集和自然数集时，发现它们好像有一些本质的差异。
就自然数的Piano定义而言，看起来数下去至于无穷就像是自然数集的内在特性。

以自然数集为基础——有时候去掉 0 ，建立了一个可数的定义，如果存在从自然数集到集合 的映射
$$f: \mathbbN-> E $$$
这个映射是保证 E 中每个成员x都能找到自然数 n 使得 f(n) = x 并且 不同的n映射到不同的成员中，这样保证了 集合E在规则 f 下，不会遗漏任何成员。
可数刻画了一个可以预测的计数规则，保证集合每个元素不重复也不遗漏，亦称为可枚举。

可数是建立在自然数集的基础上的。

能否在实数集上建立类似可数的概念？