求函数值域的常用方法

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（1）观察法：
如 $y=\dfrac{1}{2x^2 +1}$ 的值域可以从 $x^2$ 入手去求.由 $x^2 \geqslant 0$ 得 $x^2 + 1 \geqslant 1$ ，函数的值域为 $(0,1]$ ；
（2）图象法：
基本初等函数，或由其经简单变换所得函数，或用导数研究极值点及单调区间时，均通过画示意图、截取、观察得值域，这是值域中的重点内容。
（3）配方法与判别式法
①判别式法：
若函数 $y=f(x)$ 可以化为一个系数含有 $y$ 的二次方程 $a(y)x^2+b(y)x+c(y)=0$ ，
则在 $a(y) \neq 0$ 时，若 $x \in R$ 则 $\Delta \geqslant 0$ ，从而确定函数的值域，
并检验 $a(y)=0$ 时对应的 $x$ 的值是否在定义域内，以决定 $a(y)=0$ 时 $y$ 的值的取舍；
②配方法：
形如 $y=a(x-h)^2+k$ 的函数，根据二次函数的极值点或边界点的取值确定函数的值域.
（4）函数的单调性法
确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性，从而求出函数的值域，列如， $f(x)=ax+\dfrac{b}{x}(a>0,b>0)$ .当利用均值不等式时，如果等号不能成立，则可考虑利用函数的单调性解题。
（5）利用函数的有界性：
形如 $\sin \alpha =f(\alpha)$ ， $x^2=g(x)$ ，因为 $|\sin \alpha | \leqslant 1$ ， $x^2 \geqslant 0$ 可解出 $f(\alpha)$ ， $g(x)$ 的范围，从而求出其值域或最值.
（6）利用换元法化归为基本函数的值域
①代数换元：形如 $y=ax+b \pm \sqrt{cx+d}(a,b,c,d为常数,ac \neq 0)$ ，
可设 $\sqrt{cx+d}=t(t \geqslant 0)$ ，转化为二次函数求值域.
②三角换元：如 $y=x+\sqrt{1-x^2}$ ，可令 $x=\cos \theta$ ， $\theta \in [0,\pi]$ ， $\therefore y=\cos \theta +\sin \theta =\sqrt{2} \sin(\theta + \frac{\pi}{4})$ ， $\theta \in [0,\pi]$
（7）均值不等式法：
利用均值不等式 $a+b \geqslant 2\sqrt{ab}$ $(a,b>0，当且仅当a=b时，等号成立)$
但要注意以下三点：
①需要同时满足“一正、二定、三相等”的条件
②熟悉常见变形： $ab \leqslant \left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2$ ；
$a^2+b^2 \leqslant \dfrac{(a+b)^2}{2}$
③若等号取不到，可考虑函数 $y=x+\dfrac{a}{x}(a>0)$ 的单调区间.
（8）分离常数法：
形如 $y=\dfrac{cx+d}{ax+b}(a \neq 0)$ 的函数的值域，可使用“分离常数法”求解.
（9）数形结合法
如果所给的函数由较明显的几何意义，可借助几何法求函数的值域，
如由 $\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ 可联想 $(x_1,y_1)$ 与 $(x_2,y_2)$ 两点连线的斜率；
（10）导数法：
如求 $y=x^3+2x^2-x,x \in [1,2]$ 的值域，则可先使用导数法求其单调区间，然后再求值域.

求函数值域的常用方法

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