数学教师如何有效开展分层教学？
身在学校，如果你只有一个学生，教学会不会很爽？废话，那简直就是私人订制的个性化教学啊！别说只有一个，就算再多上几个，相信许多教师还是完全胜任的。有次开会，有位领导告诉我们，同一个镇的一间私立小学开设了两个初中班，一个班就15个学生。那时，在场的同事无不发出羡慕的惊叹，别人家的月亮为何那么圆！
身边的大多数同事，都是手握两个班，按50人算，总共100个学生左右。要想个性化教学，就难免有点力不从心了。一来时间不允许，每天也就那么一两节数学课，加上课余也没多少交流的时间；二来空间不允许，一个学期要教的知识点，分散到每节课，任务繁重又紧凑，哪能照顾到每一个学生呢？
个性化教学不好做，有的教师干脆走向另一个极端：反正我就一套教学方案，你能适应，算咱们投缘；你若不适应，那也没办法。其实，我们还有一种退而求其次的选择，就是分层教学。
分层教学的概念不难理解，如果把一个学生看作一层，那100个学生就有100层，一个教师当然应付不来；但是如果对学生进行合理的分类，把100个学生分为几个层次，这样一个教师就能兼顾到每个层次的学生。像上面提到的极端，相当于把所有的学生都看作一个层次，的确简单粗暴，但是分类未必合理，效果很难有保证。
那么，如何有效地开展分层教学呢？无非做好两件事，一是分层，二是教学。
1、分层
分层的关键，是分层的依据。个性化教学的依据，是学生的学习能力，以及学生的独特个性，而后者让个性化教学变得复杂有挑战性。如果要分层教学，我们就需要对学生的个性进行模糊化，或者更直接点，先考虑学生的学习能力，然后兼顾学生的个性。
对于数学的学习，我们可以从量化和定性两个维度，来分析学生的学习能力。
量化学生的学习能力，最直观的指标莫过于数学成绩；而在各种大大小小的考试成绩中，最能稳定体现学生学习能力的，是学生个人的平均成绩，我习惯称为学生数学成绩的实力中枢。实力中枢的计算方法有两种，一种是算术平均，直接求各项成绩的平均分；另一种是加权平均，可以根据考试的重要程度和批改的权威程度，为各项成绩添加权重，然后求平均。具体的计算方法，可以参考之前写过的文章《怎样合理地评估学生的数学成绩水平？》（附在文末）。
以满分120分来算，96分是优秀线，72分是及格线。根据学生的数学成绩实力中枢，我们可以把一个班的学生分成三个核心层次：优秀层、及格层和后进层。有的学生会比较稳定，有的学生波动型会比较大，他们可能会在优秀层和及格层徘徊，可能会在及格层和后进层徘徊。对于这些学生，我们可以为他们设置两个附加层次：临优层、临及层。
一般而言，一个班的三个核心层次会相对均匀，这对教学来说压力不小。教快了，后进层的学生跟不上；教慢了，优秀层的学生又被耽误了。有的学校把整个年级的学生分成快班和慢班，这样对于快班来说，后进层基本消失，教师可以加快教学进度；而对于慢班来说，优秀层也近乎为零，教师可以放慢教学的脚步。我当前教的两个班就如此，优秀层不到10%，及格层在30%左右，剩下都是后进层。
量化分析能为我们提供直观的数据，帮助我们对一个班的学生进行一个基础性的分层，但数据只是冷冰冰的反映学生过去的积累，数据背后的学生，才是值得我们关注的鲜活对象，因此，量化分析后，我们有必要对各层的学生进行定性分析。
定性分析可以从两个方面入手。一个是学生的态度，包括对自己成绩的关心程度、以及对学习任务的投入程度；另一个是学生的习惯，包括学习数学的习惯和数学考试的习惯，前者可分为别人讲解时的倾听、自己练习时的思考、以及反馈交流时的调整三个组成部分，后者可分为做题的节奏、解题的格式、以及草稿纸的使用三个组成部分。
定性分析能帮助我们对学生学习能力的趋势有一个大致的判断。态度积极、习惯优良的学生，尽管过去成绩水平不佳，但是未来大概率会有不错的提升；态度积极、习惯粗糙，或者态度消极、习惯优良的学生，未来的成绩可能会持续上下浮动，难有突破；态度消极、习惯粗糙的学生，就算过去成绩水平优良，未来也大概率会下滑。这样，我们就能够在基础的分层之上，对学生有进一步的侧重点，从而制定有针对性的教学策略。
2、教学
分层之后，接下来，就是推动我们的教学进度。
我有过一段手忙脚乱的经历：在某节课上，我噼里啪啦地把知识点讲完，做练习的时候，发现一半的学生在对着题目发呆，不知道从何下手，回到办公室吐槽时，同事告诉我：“你觉得简单的知识，学生可能觉得不简单，讲慢一点就好了。”我听从了这个建议，在下一节课中，几乎手把手地讲解每个细节，结果发现有一半的学生在打哈欠，觉得很无聊，我于是陷入了迷茫。
后来我发现，自己这样做是犯了两个错误：一个错误是企图一次性教会每一个学生，没有意识到学生的学习需要一个过程，而且不同学生要花的时间不一样；另一个错误是按照自己预想的速度来推进教学进度，只知道自己教多快，没有意识到学生能学多快。
那怎么合理推动教学进度呢？设计粗调和精调的方法。
学习生物时，用过光学显微镜的人，可能还会记得在显微镜上有两个旋钮，第一个是粗调，让你大致看到图像，第二个是精调，让你看清图像。如果只用粗调，可能图像没法看清；如果只用精调，观察一个图像的时间可能会长得不得了。
在教学中，我们可以从空间和时间两个维度实现粗调。
教学的空间，体现在学生的学习进度。数学的学习，归根到底是数学知识点的学习。而学生在学习每一个知识点的时候，都需要经历五个核心阶段，分别是明确问题、获取思路、形成新知、巩固新知和新知迁移。对这五个阶段的详细说明，可以参考之前写过的文章《数学教师如何提高备课的效率？》（附在文末）
五个核心阶段中，明确问题、获取思路和形成新知是理解一个新知识点的完整过程，最好集中课堂这样的大块时间一次完成；而巩固新知和新知迁移，可以布置一两节习题课，然后分散在各种教学的碎片时间，比如课前小测、作业和培辅。因此，学生在一个知识点的学习中，有三个重要的节点，就是知识点的形成、巩固和迁移。
教学的时间，体现在学生的学习速度。不同层次的学生，学习速度也不一样。另外，在大多数的教学常规时间，我们面对的是一个班的学生，因此，在推动教学进度时，我们需要有所取舍。在优秀层占大多数的快班，优先考虑优生的学习速度会更加明智。我目前所教的班级中，优秀层和及格层合起来只是接近一半，于是我选择优先考虑及格层学生的学习速度。这意味着，一个知识点的学习，如果发现及格层的学生基本跟得上，我就继续向前推进，至于未能跟上的少数及格层和后进层学生，我会把它们纳入到精调的范围。
如何知道学生是否跟得上呢？利用课堂练习、课前小测、作业和培辅，观察学生的解题正确率和解题速度。如果学生能做对，而且速度还不错，显然表明他跟得上；如果学生能做对，但做不快，说明还需要进一步巩固；如果做不对，那不管快不快，都说明学生还没理解。
在粗调的过程中，我们会发现有两种学生，一种是能领先教学进度的，另一种是跟不上教学进度的。因此，我们有必要进行精调。精调的目的有两个，一是帮助领先的学生继续向前走，二是是帮助没跟上的学生努力跟上。
对于能领先教学进度的学生，精调的思路，就是帮助他们用好多出来的时间。一个有效的办法，就是培养超前学习的习惯。
不要以为优生天生就能主动给自己找事做。我就经常遇到这样的情况，任务布置下去，有几个优生很快做完，然后就发呆，要么就相互聊天；过了不久，他们感觉没必要做那么快，解题速度反而降下来了。后来我就把他们召集到一块，建议他们珍惜自己的解题速度，提前完成布置的任务后，自己寻找更有挑战性的题目来做。一开始，这几个优生还是犯“老毛病”，因此有好长一段时间，我都会在课堂上反复提醒他们这样超前学习。渐渐地，习惯就形成了。记得有一次，学校突击检查全年级优生完成配套练习的情况，结果做的最多的，是我班的一个女生，她就是这么一点一滴积累出来的。
对于没跟上教学进度的学生，精调的思路，就是帮助他们找到学习的方法。我的选择，是帮助他们树立积累的意识。
这样的学生多数在后进层，个别在及格层。他们之所以没跟上，有可能是理解东西比较慢，也有可能是过去的基础没打好。无论如何，没跟上的现实，会持续打击他们的积极性。有不少后进生到了临近中考的一个月，就开始上课睡觉，啥都不干，就是一种自我放弃的表现。因此他们首先需要的，是找到一条适合自己的学习方法。
方法很多，但基本思路就一条，就是积累。有的教师提出“兵教兵”的思路，让优秀层和及格层的学生去辅导后进层的学生。我也做过不少的尝试，发现存在两个问题。一个问题是后进生变成了“伸手党”，任务一来，放着不动，坐等别人来教；另一个问题是辅导的效果不稳定，也不好反馈，许多时候，辅导的结果，只是后进生记住了某些题目的答案，具体的思路根本不理解。这也不能怪优秀层和及格层的学生，因为他们对知识的理解也没有上升到一定的高度，很难引导后进生思考。
积累的基本方式，就是明确问题，然后寻找答案。大多数后进生一拿到题目，就认定自己不会，问他们哪里不会，他们也答不上来，因为题目压根没看。我的做法，就是要求他们逐字阅读题目，划出不懂的部分，即使整道题都划满也没关系。划完以后，自己查阅课本和笔记，寻找相关的解答和习题，找到之后，自己进行对比，弄懂其中的思路。如果弄不懂，才去问同学或老师。
有人可能会说：“他们要是愿意做这些，还叫后进生吗？！”为此，我们可以做两件事。第一件事是帮助后进生把学习想明白。成绩落后已经是事实，要想一夜翻身也不大可能，最明智的做法，就是立足当下，踏踏实实地积累，这样坚持到最后，尽管有可能还是不及格，但是超越其他后进生会是大概率的事情。现状反映过去，积累方能改变未来。我去年教过的一个学生，平时就二三十分的水平，但中考得了70分，打败了不少平时比他好的同学，靠的就是不断地积累。结合真实案例来讲道理，后进生会更容易接受。
第二件事是为后进生搭建习惯培养的“脚手架”。一方面，借助启发式提问，引导后进生思考下一步行动。比如课堂上刚讲完一道例题，布置练习后，有的后进生面对题目发呆，一问就说不会，这时我会问他：“题目的哪一个部分没看明白？对比一下黑板上的例题，它们之间什么地方是类似的？”引导以后，有时后进生还是可以写出一点解题过程，这也算是进步。
另一方面，布置一些小任务，“强迫”后进生在解决问题中积累知识点。比如可以打印一些小纸片，每张纸片上就两三道基础题，接着分发给后进生，限定时间完成上交。因为题量少，我们批改也不难。有的人担心后进生会不会作弊，要解决也很简单，随便指定一道题，让后进生当场讲解思路就行，能讲出来，说明过关，讲不出来，你就可以看着办。
粗调和精调的方法设计好，下一步就是维持正常的运行。一开始要做的事情不少，但是随着时间的推进，我们的教学就可以进入一个良性的循环。学生的数学水平，也会随着持续的积累慢慢地提高。
有的教师觉得：“教学哪有那么复杂？成绩说到底，还不是靠自己一个一个去抓！”他们会热衷于在课后留住学生，让学生做更多的任务。记得刚出来工作时，我也觉得自己应该像这样“勤奋”一点，后来发现并不是那么回事。教学有两种做法，一种是靠体力教学，你想获得更多，就得投入更多的体力，但是最终只能得到线性的增长；另一种是靠体系教学，你要做的，只需要对自己的体系不断地迭代升级，而最终得到的，是指数性的增长。目前我更倾向的是后者，你呢？
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