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趣味数学：求一个复杂多边形的角度之和

2021-10-17 本文已影响0人易水樵

问题

如图， $\angle A + \angle B + \angle C + \angle D + \angle E + \angle F + \angle G + \angle H + \angle I$ 等于多少度？

【解法一】

如图所示，连接 $A,B,C,D,E,F,G,H,I$ , 得到一个凸9边形（蓝色虚线）： $ABCDEFGHI$ 。其内角之和为： $(9-2) \times 180°$

以 $\angle A$ 为例，题目所关心的实际上是 $\angle CAH$ .

$\angle CAH = \angle BAI - \angle CAB - \angle HAI$

形象地说，就是要从凸9边形的内角中减去绿色的锐角。而图中标为绿色的锐角与9个绿色的三角形有关。

$\triangle ABK, \triangle BCL, \cdots \triangle IAJ$

每个绿色的三角形有两个锐角和一个钝角。以 $\triangle ABK$ 为例，它有三个内角： $\angle BAK, \angle ABK, \angle AKB$ .

因为对顶角相等，所以 $\angle AKB = \angle JKL$

9个绿色三角形的钝角所对应的9个角恰好是另外一个9边形（图中以橙色表示）的内角：

$\angle JKL +\angle KLM + \cdots \angle RJK = (9-2)\times 180°$

待求的9个角之和 = 大9边形的内角和 - ( 9个三角形的内角之和 - 小9边形的内角和 )

待求的9个角之和 = 大9边形的内角和 + 小9边形的内角和 - 9个三角形的内角之和

所以 $\angle A + \angle B + \angle C + \angle D + \angle E + \angle F + \angle G + \angle H + \angle I$

$= (9-2) \times 180° \times 2 - 9 \times 180°$

$=900°$

【解法二】

连接 $AB,AI$ . 可以得到两个凸五边形： $ACEGI, ABDFH$

因为凸五边形的内角和等于 $(5-2)\times 180°$ ，所以：

$\angle JAK + \angle KAB + \angle ABI + \angle D + \angle F + \angle H =(5-2)\times 180°$

$\angle A + \angle KAB + \angle ABI + \angle D + \angle F + \angle H =(5-2)\times 180°$

$\angle I + \angle AIB +\angle A + \angle IAJ + \angle BAK+ \angle C + \angle e + \angle G =(5-2)\times 180°$

$\triangle ABI$ 的内角和等于 $180°$ , 所以：

$\angle A + \angle BAK + \angle IAJ + \angle ABI +\angle AIB=180°$

$\angle A + \angle B + \angle C + \angle D + \angle E + \angle F + \angle G + \angle H + \angle I$

$=5 \times 180° = 900°$

【提炼与提高】

本题解答过程中用到以下知识：

（1）三角形的内角和等于； $180°$

（2）有 $n$ 条边的凸多边形的内角和等于； $(9-2) \times 180°$

（3）对顶角相等；

以上三点属于平面几何中入门级的知识，很多小学生都知道。关键在于应用知识解决具体问题的能力。具体说来就是：观察图形，把复杂的图形分解为简单的图形；把不熟悉的图形分解为若干个熟悉的图形的组合。

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