有限单元法

2019-01-20 本文已影响0人 Xindolia_Ring

在有限元方法中，把计算域离散剖分为有限个互不重叠且相互连接的单元，在每个单元内选择基函数，用单元基函数的线性组合来逼近单元中的真解，整个计算域上总体的基函数可以看为由每个单元基函数组成的，则整个计算域内的解可以看作是由所有单元上的近似解构成。

在河道数值模拟中，常见的有限元计算方法是由变分法和加权余量法发展而来的里兹法和伽辽金法、最小二乘法等。

根据所采用的权函数和插值函数的不同，有限元方法也分为多种计算格式。

从权函数的选择来说，有配置法、矩量法、最小二乘法和伽辽金法；
从计算单元网格的形状来划分，有三角形网格、四边形网格和多边形网格；
从插值函数的精度来划分，又分为线性插值函数和高次插值函数等。

不同的组合同样构成不同的有限元计算格式。对于权函数：

伽辽金(Galerkin)法是将权函数取为逼近函数中的基函数；
最小二乘法是令权函数等于余量本身，而内积的极小值则为对代求系数的平方误差最小；

在配置法中，先在计算域内选取N个配置点。令近似解在选定的N个配置点上严格满足微分方程，即在配置点上令方程余量为0。

插值函数一般由不同次幂的多项式组成，但也有采用三角函数或指数函数组成的乘积表示，但最常用的多项式插值函数。

有限元插值函数分为两大类，一类只要求插值多项式本身在插值点取已知值，称为拉格朗日(Lagrange)多项式插值；另一种不仅要求插值多项式本身，还要求它的导数值在插值点取已知值，称为埃尔米特(Hermite)多项式插值。

单元坐标有笛卡尔直角坐标系和无因次自然坐标，有对称和不对称等。常采用的无因次坐标是一种局部坐标系，它的定义取决于单元的几何形状，一维看作长度比，二维看作面积比，三维看作体积比。在二维有限元中，三角形单元应用的最早，近来四边形等参元的应用也越来越广。对于二维三角形和四边形电源单元，常采用的插值函数为有Lagrange插值直角坐标系中的线性插值函数及二阶或更高阶插值函数、面积坐标系中的线性插值函数、二阶或更高阶插值函数等。

工程应用

土木工程应用

桁（héng）架、刚架、折板、壳、剪力墙、桥梁，预应力混凝土结构的静力分析；
结构的固有频率、模态分析；
结构稳定性分析；
应力波的传播、对非周期荷载的响应；
边波稳定，水的渗透分析；
结构随机响应分析。

航空航天结构

航空机翼、机身、机尾，火箭，航天器，导弹等结构的静力分析；
航空结构、火箭、航天结构、导弹结构等的固有频率、颤振和稳定分析；
航空结构对随机荷载的响应，航天、航空结构对非周期荷载的动态响应分析；

热传导

属于温度场问题，以Fourier热传导方程为控制方程

热传导在三维的等方向均匀介质里的传播可用以下方程表达：
$\frac{\partial u}{\partial t} = div(Uu) = k(\frac{\partial ^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial ^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial ^2 u}{\partial z^2}) = k(u_{xx} + u_{yy} + u_{zz})$