子午圈曲率半径公式推导

2019-11-21 本文已影响0人寻松点点

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子午圈曲率半径推导

子午圈曲率半径公式M：

$M=\frac{a(1-e^2)}{W^3}$

image

图中的椭圆表示地球子午圈横切面。在这个椭圆上取一段微分弧DK=dS。

点N为弧的曲率中心。用M表示子午圈的曲率半径。根据曲线的曲率半径公式可知：

$M=\frac{dS}{d\beta}\quad (1)$

点K和点D之间的坐标增量记作dx，在微分三角形DKE中，

image

$dS=-\frac{dx}{sinB}\quad(2)$

注：dx取符号是因为内子午椭圆上点的横坐标随着维度B的增加而缩小。

由(1)(2)式可得：

$M=-\frac{dx}{dB}\cdot \frac{1}{sinB} \quad (3)$

在子午面直角坐标系中

$x=\frac{acosB}{\sqrt{1-e^2sin^2B}}=\frac{acosB}{W}\quad (4)$

(4)式是x与B的函数关系，对其求微分即可得dx和dB的关系，即寻找（3）式中的 $\frac{dx}{dB}$

$\frac{dx}{dB}=a\cdot\frac{-sinB-cosB\cdot\frac{dW}{dB}}{W^2} \quad (5)$

(5)中引进了dW和dB的关系，所以需要寻找它们之间的函数表达式

在地球椭圆中定义了辅助函数：

$W=\sqrt{1-e^2sin^2B}\quad (6)$

对(6)式求微分有：

$\frac{dW}{dB}=\frac{d\sqrt{1-e^2sin^2B}}{dB}=\frac{-2e^2sinBcosB}{2\sqrt{1-e^2sin^2B}}=\frac{-e^2sinBcosB}{W} \quad (7)$

找到dW和dB的关系后，现在把(7)重新回代入到(5)式中：

$\frac{dx}{dB}=a\cdot\frac{-sinB-cosB\cdot\frac{dW}{dB}}{W^2} =a\cdot\frac{-sinB-cosB\cdot\frac{-e^2sinBcosB}{W}}{W^2}$

$=-asinB \cdot ( \frac{1}{W}-\frac{e^2cos^2B}{W^3})$

$=\frac{-asinB}{W^3} \cdot ( {W^2}-{e^2cos^2B}) \quad(提个\frac{1}{W^3})\quad (8)$

为什么是 $\frac{1}{W^3}呢？$

$因： W=\sqrt{1-e^2sin^2B}\quad (6)$

$得： W^{2}={1-e^2sin^2B}={1-e^2\cdot(1-cos^2B)}$

$=1-e^2+e^2cos^2B，即{(W^2-e^2cos^2B)=1-e^2}\quad (9)$

代(9)式回到(8)式中：

$\frac{dx}{dB}=\frac{-asinB}{W^3}\cdot(1-e^2) \quad (10)$

把(10)式代入(3)式中：

$M=-\frac{dx}{dB}\cdot \frac{1}{sinB}=\frac{asinB}{W^3}\cdot(1-e^2) \cdot \frac{1}{sinB}$

$=\frac{a(1-e^2)}{W^3}\quad (11)$

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