二维空间内，旋转、对称矩阵的实现

2019-05-20 本文已影响1人陈陌Chemo

概述

本文为解决以下问题：
对二维空间内的点 $P \left (x,y)\right.$ 做矩阵变换，实现

以点 $Q \left (a,b)\right.$ 为旋转中心，以 r 为旋转角，做旋转
以过点 $Q \left (a,b)\right.$ ，与 x 轴正方向夹角为 $\theta$ 的直线为对称轴，做对称

即，分别求其定点旋转矩阵、定轴对称矩阵
其中定点旋转矩阵由平移矩阵和中心旋转矩阵得来，轴对称矩阵则由定点旋转矩阵和轴对称矩阵得来

已知

有列向量
$\vec{ a }= \left[\begin{matrix} x \\ y \\ 1 \end{matrix}\right]$

平移矩阵

对 $\vec{ a }$ 有平移矩阵
$A= \left[\begin{matrix} 1&0&a \\ 0&1&b \\ 0&0&1 \end{matrix}\right]$
使得
$A\times\vec{ a }= \left[\begin{matrix} x+a \\ y+b \\ 1 \end{matrix} \right]$
即点 $\left (x,y)\right.$ 延向量 $\left (a,b)\right.$ 平移至点 $\left (x+a,y+b)\right.$

中心旋转矩阵

对 $\vec{ a }$ 有中心旋转矩阵
$B= \left[\begin{matrix} \cos\theta&-\sin\theta&0 \\ \sin\theta&\cos\theta&0 \\ 0&0&1 \end{matrix}\right]$
使得
$B\times\vec{ a }= \left[\begin{matrix} x\cos\theta-y\sin\theta \\ x\sin\theta+y\cos\theta \\ 1 \end{matrix} \right]$
即点 $\left (x,y)\right.$ 以 $\left (0,0)\right.$ 为旋转中心，逆时针旋转 $\theta$ 至点 $\left (x\cos\theta-y\sin\theta,x\sin\theta+y\cos\theta)\right.$

定点旋转矩阵

由此可知，要使点 $P \left (x,y)\right.$ 以点 $Q \left (a,b)\right.$ 为旋转中心旋转，可先将点 $P \left (x,y)\right.$ 加上向量 $q' \left (-a,-b)\right.$ ，做旋转后再加上向量 $q \left (a,b)\right.$ 平移回来，几何证明请参考下图

定点旋转

则对 $\vec{ a }$ 有定点旋转矩阵
$C=A_1\times B\times A_2$
$C= \left[\begin{matrix} 1&0&-a \\ 0&1&-b \\ 0&0&1 \end{matrix}\right] \times \left[\begin{matrix} \cos\theta&-\sin\theta&0 \\ \sin\theta&\cos\theta&0 \\ 0&0&1 \end{matrix}\right] \times \left[\begin{matrix} 1&0&a \\ 0&1&b \\ 0&0&1 \end{matrix}\right]$
得
$C= \left[\begin{matrix} \cos\theta&-\sin\theta&a\cos\theta-b\sin\theta-a \\ \sin\theta&\cos\theta&a\sin\theta+b\cos\theta-b \\ 0&0&1 \end{matrix}\right]$
使得
$C\times\vec{ a }= \left[\begin{matrix} \cos\theta（x+a）-\sin\theta(y+b)-a \\ \sin\theta（x+a）+\sin\theta(y+b)-b \\ 1 \end{matrix} \right]$
即点 $\left (x,y)\right.$ 以 $\left (a,b)\right.$ 为旋转中心，逆时针旋转 $\theta$ 角度至上述点

$y=b$ 轴对称矩阵

对 $\vec{ a }$ 有轴对称矩阵
$D= \left[\begin{matrix} 1&0&0 \\ 0&-1&2b \\ 0&0&1 \end{matrix}\right]$
使得
$D\times\vec{ a }= \left[\begin{matrix} x \\ 2b-y \\ 1 \end{matrix} \right]$
即点 $\left (x,y)\right.$ 以直线 $y=b$ 为对称轴做对称至点 $\left (x,2b-y)\right.$

定轴对称矩阵

由此可知，要使点 $P \left (x,y)\right.$ 其以直线 $QR$ 为对称轴做对称，其中 $Q$ 点坐标为 $\left (a,b)\right.$ ，直线与x轴的夹角为 $\theta$ ，可先将点 $P \left (x,y)\right.$ 以 $Q$ 为旋转中心， $-\theta$ 为旋转角做旋转，之后以直线 $y=b$ 做对称轴做对称，再以 $Q$ 为旋转中心， $\theta$ 为旋转角旋转回来，几何证明请参考下图

定轴对称
则对有定轴对称矩阵

得

使得

即点以直线为对称轴，做对称至上述点
（最后的计算有空会补上，若有计算错误还请指出）