卷积和反卷积

卷积（convolution）

卷积是通过Filter提取原图像的特征，Filter会随着梯度下降提取出图像的主要特征。如图：

蓝色为原图，深蓝色为Filter，绿色为提取后的特征

再看看下图卷积是如何进行运算的：

输入，Falter，输出

细节过程：

卷积细节操作

卷积操作实质上表示了一种多对一的关系，就如上图所示通过一个Filter将input中的9个pixel与output中的一个pixel相对应。

我们将上述过程用矩阵表示一下
Filter：

image.png

你可能在想这些蓝色的0是怎么来的？看图：

Filter
将上图中的Filter进行flatten就可以得到 Filter进行flatten
我们将4次的3x3的Filter操作用一个4x16的矩阵表示：
Convolution Matrix

那么卷积的运算就可以用矩阵表示为：

Convolution Matrix operation
将output reshape 成2x2的matrix
output

其结果和细节过程中的output是一样的。接下来我们介绍反卷积。

反卷积（Transposed Convolution）

反卷积，输入图片的特征，输出图片，起到通过特征还原原图的作用。如图：

蓝色为提取后的特征，阴影为Filter，绿色为原图

有了上面的Convolution Matrix（4x16），我们对它进行transpose得到Transposed Convolution Matrix（16x4）然后进行如下操作：

Transposed Convolution Matrix operation
再将反卷积的output reshape成4x4的矩阵
output

神奇的事情发生了：通过Transposed Convolution Matrix 的矩阵乘法，我们将input的特征转变成了与原图类似结构的图像。这样一来只要我们通过训练去调整Transposed Convolution Matrix中的weight，就可以通过特征尽可能的还原原图。

反卷积操作实质上表示了一种一对多的关系，就如上图所示通过一个Filter将output中的1个pixel与input中的9个pixel相对应。

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