高等数学：函数与极限题选(6)

2018-11-21 本文已影响3人溺于恐

1.设函数f(x)在[0,1]上连续,且对[0,1]上任一点x有 $0\le f(x)\le 1$ 证明：[0,1]中必存在一点c,使f(c)=c(c称为f(x)的不动点)

证：

$设F(x)=f(x)-x,则F(0)=f(0)\ge 0,F(1)=f(1)-1\le 0$

$若F(0)=0或F(1)=0,则0或1即为f(x)的不动点$

$若F(0)\gt 0,F(x)\lt 0,则由零点定理可知$

$\exists c\in (0,1)使F(c)=0,即f(c)=c,此时c为f(x)的不动点$

2.证明方程x=asinx+b $(其中a\gt 0,b\gt 0)$ ,至少有一个正根,且不超过a+b

证：

$设f(x)=x-asinx-b,则$

$f(a+b)=a+b-asin(a+b)-b=a[1-sin(a+b)]\ge 0$

$若f(a+b)=0,则a+b就是x=asinx+b的一个正根,且不超过a+b$

$若f(a+b)\neq 0,即f(a+b)\gt 0$

$\because f(0)=0-asin0-b=-b\lt 0,且f(x)在[0,a+b]上连续$

$\therefore 由零点定理可知$

$\exists \xi\in(0,a+b)使f(\xi)=0$

$则\xi 即为x=asinx+b的一个正根,且不超过a+b$

$综上所述$

$方程x=asinx+b(其中a\gt 0,b\gt 0),至少有一个正根,且不超过a+b$

3.证明任一最高次幂的指数为奇数的代数方程 $a_0x^{2n+1}+a_1x^{2n}+\cdots+a_{2n}x+a_{2n+1}$ 至少有一实根,其中 $a_0,a_1,\cdots,a_{2n+1}$ 均为常数, $n\in N$

证：

$设f(x)=a_0x^{2n+1}+a_1x^{2n}+\cdots+a_{2n}x+a_{2n+1}$

$其中a_0\neq 0,不妨设a_0\gt 0,则$

$\exists x_1\gt 0使f(x_1)\gt 0而f(-x_1)\lt 0$

$又f(x)是连续函数$

$由零点定理可知$

$\exists C\in(-x_1,x_1)使f(C)=0,即方程f(x)=0至少有一个实根$

4.证明：若f(x)在[a,b]上连续, $a\lt x_1\lt x_2\lt \cdots\lt x_n\lt b(n\ge 3)$ ,则在 $(x_1,x_n)$ 内至少有一点 $\xi$ 使 $f(\xi)={f(x_1)+f(x_2)+\cdots+f(x_n)\over n}$

证：

$设m=min\{f(x_1),f(x_2),\cdots,f(x_n)\}=f(x^{(1)})\}$

$M=max\{f(x_1),f(x_2),\cdots,f(x_n)\}=f(x^{(n)})\}$

$则m={mn\over n}\le {f(x_1)+f(x_2)+\cdots+f(x_n)\over n}\le {Mn\over n}=M$

$即f(x^{(1)})\le {f(x_1)+f(x_2)+\cdots+f(x_n)\over n}\le f(x^{(n)})$

$\because f(x)在[a,b]上连续,[x^{(1)},x^{(n)}]\subset[a,b]或[x^{(n)},x^{(1)}]\subset[a,b]$

$\therefore 由介值定理可知$

$\exists \xi\in(x^{(1)},x^{(n)})或(x^{(n)},x^{(1)})使得$

$f(\xi)={f(x_1)+f(x_2)+\cdots+f(x_n)\over n}$

$即在(x_1,x_n)内至少有一点\xi使f(\xi)={f(x_1)+f(x_2)+\cdots+f(x_n)\over n}$

5.设函数f(x)对于[a,b]上的任意两点x,y,恒有 $|f(x)-f(y)|\le L|x-y|$ (其中L为正常数),且 $f(a)f(b)\lt 0$ ,证明：至少有一点 $\xi\in (a,b)使f(\xi)=0$

证：

$\forall x_0\in (a,b),\forall \varepsilon\gt 0,取\delta=min\{{\varepsilon\over L},x_0-a,b-x_0\}$

$则当|x-x_0|\lt \delta时,有|f(x)-f(x_0)|\le L|x-x_0|\le \varepsilon$

$\therefore f(x)在x_0处连续$

$由x_0\in (a,b)的任意性知f(x)在(a,b)连续$

$当x_0=a或x_0=b时,取\delta={\varepsilon\over L}则,$

$x\in[a,a+\delta)或x\in(b-\delta,b]时,有$

$|f(x)-f(x_0)|\le L|x-x_0|\le \varepsilon$

$\therefore f(x)在x=a右连续,在x=b左连续$

$\therefore f(x)在[a,b]上连续$

$又f(a)f(b)\lt 0$

$\therefore 由零点定理可知$

$\exists \xi\in(a,b)使f(\xi)=0$

6.证明：若f(x)在 $(-\infty,+\infty)$ 内连续,且 $\lim_{x\to \infty}f(x)$ 存在,则f(x)必在 $(-\infty,+\infty)$ 内有界

证：

$不妨设\lim_{x\to \infty}f(x)=A$

$\forall \varepsilon\gt 0,\exists X\gt 0,当|x|\gt X时,有|f(x)-A|\lt \varepsilon$

$取\varepsilon=1,则\exists x_0\gt 0,当|x|\gt x_0时,有A-1\lt f(x)\lt A+1$

$\because f(x)在(-\infty,+\infty)内连续$

$\therefore f(x)在[-x_0,x_0]内有界,$

$即\exists M_0,使|f(x)|\le M_0$

$取M=max\{|A-1|,|A+1|,M_0\}$

$则当x\in(-\infty,+\infty)时,有|f(x)\le M$

$即f(x)在(-\infty,+\infty)内有界$

7.在什么条件下(a,b)内的连续函数f(x)为一致连续

解：

$当\lim_{x\to a^+}与\lim_{x\to b^-}f(x)存在且为有限值时$

$连续函数f(x)在(a,b)内一致连续$

$设F(x)=\begin{cases}\lim\limits_{x\to a^+}f(x)\qquad x=a\\ f(x)\qquad a\lt x\lt b\\ \lim\limits_{x\to b^-}f(x)\qquad x=b\end{cases}$

$\because f(x)在(a,b)上连续$

$\therefore F(x)在[a,b]上连续$

$由一致连续性定理可知$

$F(x)在[a,b]上一致连续$

$\therefore f(x)在(a,b)上一致连续$

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