数学家是艺术家？

这周继续阅读跟数学教育有关的书，主要读的是《一个数学家的叹息》。作者保罗·洛克哈特是一位成功的专业数学家，在大学里教书，后来他发现自己的真正使命在K-12年级的数学教育。2000年，他毅然转入纽约市一所涵盖K-12年级的中小学任教，身体力行他认为有意义的数学教学活动。这本书是一位数学家在实际教学过程中的思考和见识，所以非常值得阅读。

好爱这个可爱的在黑板上验算的小男孩

数学之美：简单就是美。

如果数学有一个统一的美学原则的话，那将是：简单就是美（simple is beautiful）。数学家喜欢思考最简单的可能性，而这种最简单的可能性是想象的，不见得是现实存在的。

来看一个看似简单的几何问题。

这个矩形内的三角形的面积是矩形面积的几分之几？

你是不是觉得比较难？大概只能靠猜？

那我再给你看一张图，你大概率能得到答案。

一条辅助线的艺术

再看看，想想，是不是会高呼一声，我知道答案了。是1/2！是1/2！是1/2！

其实我不只是来告诉你答案的，三角形面积是长方形面积的一半，这个“事实”并不重要。重要的是，以辅助线来切割的这个巧妙构思，以及这个构思可能激发出其他美妙的构思，进而引导出在其他问题上的创造性突破——光是事实的陈述绝不可能给你这些的。

就是数学的外貌和感觉。数学家的艺术就像这样：对于我们想象的创造物提出简单而直接的问题，然后制作出令人满意又美丽的解释。没有其他事物能达到如此纯粹的概念世界；如此令人着迷、充满趣味，而且不花半毛钱！

再来一个算术题。

你有简单快速的解法吗？欢迎留言讨论。

我常听文科生写文章需要灵感，灵光一现。但好像觉得数学跟灵感和艺术完全不搭界，真是这样吗？

数学家是艺术家？

英国数学家哈代（G. H. Hardy）说过：

一位数学家，就像一位画家或诗人，是模式（pattern）的创造者。如果他的模式比画家或诗人的模式能留存得更久，那是因为这些模式是用理念（ideas）创造出来的。

再来看刚才的例子。

我们刚才看到了这条辅助线之妙。你也许要问了，我的这个想法又是从何而来的？我怎么知道要画那条辅助线？那我要问你了，画家又是怎么知道要在哪里画上一笔？灵感、经验、尝试错误、运气。这就是艺术，创造出那些有思想的美丽小诗，创造出那些纯粹理性的诗篇。这个艺术形态有着某种东西，能做如此神奇的转变。三角形和长方形之间的关系原本是个谜，然而那条小小的辅助线让谜底浮现了出来。我本来看不出来的，突然间我就看见了。然而，我能够从“无”当中创造出全然简单的美丽，并且在这个过程当中改变了我自己。这不正是艺术吗？

学校数学教育的问题在哪里？

我们都知道三角形的面积公式是：

三角形面积公式

再回忆上面的例子，我们自然就能写出这样的公式。但是在学校里，我们只是告诉孩子们这个公式，让他们背过，然后去做大量的练习题。也就是只告诉孩子们“是什么”，而不告诉孩子们“为什么”。

由于将焦点集中在“什么”，排除掉“为什么”，数学被降格为一个空壳子。数学不是在“真相”里，而是在说明、论证之中。论证的本身赋予真相一个情境，并确认我们到底在谈论什么、其意义何在。数学是说明的艺术（the art of explanation）。如果你不让学生有机会参与这项活动——提出自己的问题、自己猜测与发现、试错、经历创造中的挫折、产生灵感、拼凑出他们的解释和证明——你就是不让他们学习数学。所以，作者说“我不是在抱怨我们数学课堂上出现的事实与公式，我抱怨的是我们的数学课里没有数学。”

肯·罗宾森爵士（Sir Ken Robinson） 2006 年在TED 大会上的演说的确一点没错：“学校扼杀了创意”，而且是刻意为之。因为当代的教育制度继承自工业革命时期，所以教育的目的就是为了创造工业需要的人才，到现在也没有改变。大量产出工业需求的一致性劳动力是学校教育的目标，因此教学方式必须要有效率、必须要一致。

所以教育改革也势在必行。

我最近在备课，准备给孩子们讲讲数学之美。以后可能还会有数学之真，数学之善。