近世代数理论基础23：分式域

2019-03-01 本文已影响15人溺于恐

分式域

设K是域, $D\subseteq K$ 是环,且 $D\neq \{0\}$ ,称K中包含D的最小的域为由D生成的域,记作 $<D>$ ,则 $<D>=\bigcap\limits_{D\subseteq L\\ L为K的子域}L$

令 $F=\{ab^{-1}\in K|a,b\in D,b\neq 0\}$ ,若L为K的任一子域, $D\subseteq L$ ,显然有 $F\subseteq L$ ,特别地 $F\subseteq <D>$

易证 $F$ 本身构成域K的一个子域,且 $D\subseteq F$ ,由 $<D>$ 的定义, $<D>\subseteq F$

故 $F=<D>$

又若 $D$ 是一个交换环,且 $D\neq \{0\}$ ,则存在域K包含D,由D中的零因子一定是K中的零因子,且域是无零因子环,故域K存在的必要条件为D是无零因子环

在所有包含D的域中,由D生成的域 $<D>$ 是同构的,称这样的域为环D的分式域

定理：设D是交换的无零因子环,则存在域K包含D

证明：

$设S=\{(a,b)|ab\in D,b\neq 0\}$

$在集合S中定义关系R:$

$\forall (a,b),(c,d)\in S,若ad=bc$

$则称(a,b)与(c,d)具有关系R,记作(a,b)\sim (c,d)$

$易证,R是集合S上的等价关系$

$设(a,b)\sim (c,d),(c,d)\sim (r,s)$

$则ad=bc且cs=dr$

$由D中乘法的交换性$

$asd=sad=sbc=bcs=bdr=brd$

$两边消去d可得as=br$

$即(a,b)\sim (r,s)$

$传递性得证$

$自反性与对称性易证$

$等价关系\sim 将S中的元分成了若干互不相交的等价类$

$以a/b表示(a,b)所在的等价类$

$令F为S的所有等价类的集合$

$即F=\{a/b|(a,b)\in S\}$

$在集合F中定义加法和乘法$

$a/b+c/d=(ad+bd)/(bd)$

$a/b\cdot c/d=(ac)/(bd)$

$下证这样定义的加法和乘法是良性的$

$即运算的结果与代表元的选择无关$

$若(a,b),(c,d)\in S$

$则b\neq 0,d\neq 0$

$由假定D是无零因子环$

$\therefore bd\neq 0$

$\therefore (ad+bc,bd),(ac,bd)\in S$

$即(ad+bc)/(bd)和(ac)/(bd)均有意义$

$设(a_1,b_2)\in a/b,(c_1,d_2)\in c/d$

$则(a_1,b_1)\sim (a,b)$

$即a_1b=b_1a$

$类似有c_1d=d_1c$

$第一个等式两边乘d_1d$

$第二个等式两边乘b_1b$

$再相加可得a_1bd_1d+c_1db_1b=b_1ad_1d+d_1cb_1b$

$整理得(a_1d_1+b_1c_1)bd=(ad+bc)b_1d_1$

$\therefore (a_1d_1+b_1c_1,b_1d_1)\sim (ad+bc,bd)$

$\therefore (a_1d_1+b_1c_1)/(b_1d_1)=(ad+bc)/(bd)$

$即上述定义加法与代表元的选择无关$

$类似可证上述定义的乘法与代表元的选择无关$

$再证集合F对上述定义的加法和乘法做成一个域$

$1.加法满足交换律$

$设a/b+c/d=(ad+bc)/(bd)$

$c/d+a/d=(cb+da)/(db)$

$\because ad+bc=cb+da,bd=db$

$\therefore a/b+c/d=c/d+a/b$

$即交换律成立$

$2.加法满足结合律,显然$

$3.0/b(b\neq 0)是加法的单位元$

$\forall c/d\in F,有$

$0/b+c/d=(bc)/(bd)=c/d=c/d+0/b$

$4.(-a)/b是a/b的加法逆元$

$即a/b+(-a)/b=(ab-ad)/bb$

$=0/b=(-a)/b+a/b$

$1-4表明F对加法构成交换群$

$5.乘法满足结合律$

$\forall a/b,c/d,e/f\in F,有$

$a/b\cdot(c/d\cdot e/f)=(a/b\cdot c/d)\cdot e/f=(ace)/(bdf)$

$6.乘法显然满足交换律$

$7.\forall a\in D,a\neq 0$

$a/a 是乘法的单位元$

$8.\forall a/b\in F,a\neq 0$

$a/b的乘法逆元是b/a$

$5-8表明F的非零元对乘法构成交换群$

$易证分配律也成立$

$则(F,+,\cdot)作成一个域$

$再证D可同构嵌入F中$

$取D中一个非零元q\neq 0$

$令R=\{aq/q|a\in D\}$

$作映射f:D\to R$

$\forall a\in D,令f(a)=(aq)/q$

$易证f是D到R上的一个双射$

$显然f满射$

$又若(aq)/q=(bq)/q$

$则(aq,q)\sim (bq,q)$

$有aq^2=bq^2$

$由消去律$

$a=b,即f是单射$

$再证映射f保持运算$

$\because aq/q+bq/q=(a+b)q^2/q^2=(a+b)q/q$

$aq/q\cdot bq/q=abq^2/q^2=abq/q$

$\therefore f(a+b)=(a+b)q/q=aq/q+bq/q=f(a)+f(b)$

$f(ab)=(ab)q/q=aq/q\cdot bq/q=f(a)f(b)$

$即f是D到R的同构映射$

$即D\cong R$

$将D看成F的一部分,可得包含D的域F\qquad\mathcal{Q.E.D}$

分式域

定义：给定域Q,若Q包含一个整环D,且Q刚好由所有形如 $ab^{-1}={a\over b}(a,b\in D,b\neq 0)$ 的元所成,则称Q为D的分式域

构造整环D的分式域的方法

假设在域F中包含一个子环D,它包含F的单位元,由F中无零因子,故D一定是一个整环

当 $a,b\in D,b\neq 0$ 时, $ab^{-1}={a\over b}$ 一定是F中的元

又若 $c,d\in D,d\neq 0$ ,则显然有

${a\over b}={c\over d}\Leftrightarrow ad=bc$

${a\over b}+{c\over d}={ad+bd\over bd}$

${a\over b}\cdot {c\over d}={ac\over bd}$

$\forall g\in D,g\neq 0$ ,有 $a={ag\over g}$

可见F一定包含D的分式域

定理：一个整环D的分式域Q是包含D的最小域

注：交换的无零因子环也存在分式域,即不要求该环有单位元

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