依分布收敛的定义细节

2021-09-28 本文已影响0人 Boye0212

1 定义

依分布收敛的定义是这样的：随机变量序列 $\{X_n\}_{n=1}^{\infty}$ ，若它们的累积分布函数cdf序列 $\{F_1\}_{n=1}^{\infty}$ ，与某个随机变量 $X$ 的cdf $F$ ，满足
$\lim_{n\to\infty} F_n(x)=F(x)$
在任意 $F(x)$ 的连续点 $x$ 处都成立。则称它们依分布收敛到随机变量 $X$ ，记为 $X_n\stackrel{D}\longrightarrow X$ 。

在这个定义中，有两个极易忽视但又重要的点，一是必须要对应到某个随机变量的cdf，而不是任意一个函数，二是只要求在 $F(x)$ 的连续点处条件成立即可。

接下来，我们分析为何要如此定义。

2 极限函数必须是cdf

考虑 $X_n\sim N(0,\sigma_n^2)$ ， $\sigma_n\to +\infty$ ，我们有
$F_n(x)=P(\dfrac{x_n}{\sigma_n}\leq \dfrac{x}{\sigma_n})=\Phi(\dfrac{x}{\sigma_n})$
在任一点 $x$ 处，都有 $\Phi(\dfrac{x}{\sigma_n})\to\Phi(0)=\dfrac{1}{2}$ ，因此，可设 $F(x)=\dfrac{1}{2}$ ，就满足定义中的极限条件。但此时， $F(x)$ 不是任何随机变量的cdf，因为随机变量的cdf需要满足 $\lim\limits_{x\to -\infty}F(x)=0$ 以及 $\lim\limits_{x\to \infty}F(x)=1$ 。

这一点如何修正？我们只需让序列 $\{X_n\}_{n=1}^{\infty}$ 是依概率有界即可。而在定义中，就要求cdf函数列的极限形式，一定要对应到某个随机变量的cdf。

3 只考虑连续点

回忆cdf的另一个性质：右连续，即 $F(x)=F(x+)$ 。但在依分布收敛的情形中，很可能会出现不满足的情况，如 $X_n=X+\dfrac1 n$ ，易知
$F_n(x)=P(X_n\leq x)=P(X\leq x-\dfrac 1 n)=F(x-\dfrac{1}{n})$

若 $n\to\infty$ ，则 $F_n(x)\to F(x-)$ 。若 $F$ 在 $x$ 处不满足左连续，那么不能满足 $F_n(x)\to F(x)$ ，因此在定义中，需将 $F$ 的不连续点排除。

举个具体的例子，如 $X_n\sim U_{(0,1/n)}$ ，则 $X_n$ 在极限时的分布会退化为 $X=1$ ，而 $F_n(0)=0$ 恒成立，但 $F(0)=1$ ，因此对于 $x=0$ 无法满足 $F_n(x)\to F(x)$ ，但 $x=0$ 是 $F(x)$ 的不连续点，因此可以剔除。所以还是认为 $X_n\stackrel{D}\longrightarrow X$ 。

依分布收敛的定义细节

1 定义

2 极限函数必须是cdf

3 只考虑连续点

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