二阶线性方程的分类及化简

2020-05-21 本文已影响0人洛玖言

二阶线性方程的分类

一般的二阶线性方程可以写成
$a_{11}u_{xx}+2a_{12}u_{xy}+a_{22}u_{yy}+b_{1}u_{x}+b_2u_y+cu=f$

这里的 $a_{11},a_{12},a_{22},b_1,b_2,c,f$ 都是变量 $x,y$ 在某一区域上的实函数，通常假定是适当光滑.

特征方程为
$a_{11}(\text{d}y)^2-2a_{12}\text{d}x\text{d}y+a_{22}(\text{d}x)^2=0$

分解为两个方程
$\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}=\dfrac{a_{12}+\sqrt{a_{12}^2-a_{11}a_{22}}}{a_{11}}$
$\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}=\dfrac{a_{12}-\sqrt{a_{12}^2-a_{11}a_{22}}}{a_{11}}$

令 $\Delta=a_{12}^2-a_{11}a_{22}$

三种情况
在区域 $\Omega$ 中某点 $(x_0,y_0)$ 满足：
$\Delta>0$ ：称方程在点 $(x_0,y_0)$ 为双曲型
$\Delta=0$ ：称方程在点 $(x_0,y_0)$ 为抛物型
$\Delta<0$ ：称方程在点 $(x_0,y_0)$ 为椭圆型

有些方程在区域 $\Omega$ 的一个部分是双曲型的，另一部分是椭圆形的，而在他们的分界线上是抛物型的。这样的方程在区域 $\Omega$ 中称为是混合型的。如特里克米(Tricomi) 方程
$y\dfrac{\partial^2u}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2u}{\partial y^2}=0$

化解方程为标准方程
当 $\Delta=0$ 时，为抛物型
如： $(\text{d}y)^2+4\text{d}x\text{d}y+4(\text{d}x)^2$
我们得到一簇积分曲线 $\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}=-2$
解得一簇积分曲线 $y+2x=C$
于是取变换 $\xi=y+2x,\eta=y$