喜欢数学吗？或许我们只是馋“悖论”的身子
1
一个梗
是由胡军主演的电视剧《朱元璋》中的一句台词，
在剧中，
郭子兴的儿子郭天叙，
对郭子兴说喜欢郭子兴的义女，
也就是他自己的义妹：马姑娘（历史上的马皇后）。
郭子兴生气地给了他几个巴掌，
并反驳：
“你那是喜欢吗，你那是馋她的身子，你下贱！”
历史上有很多的数学家，
他们爱好数学，
当然也有很多业余学习数学的人，
也是非常爱好数学。
用上面的梗我们可以想象：
也许有一些人，
只是馋“悖论”的身子.
比如：1950年获得诺贝尔文学奖的
英国文学奖罗素，
曾经提出过一个闻名于世的“罗素悖论”.
罗素悖论，也称为理发师悖论，书目悖论……
是罗素于1901年提出的悖论，
一个关于类的内涵问题。
罗素悖论当时的提出，造成了第三次数学危机。
悖论内容：设性质P(x)表示"x不属于x"，
现假设由性质P确定了一个类A，A={x|x∉A}。
那么问题是：A属于A是否成立?
首先，若A属于A，则A是A的元素，
那么A具有性质P，由性质P知A不属于A；
其次，若A不属于 A，也就是说A具有性质P，
而A是由所有具有性质P的类组成的，即A属于A
“理发师悖论”的悖论内容一位理发师说：
“我只帮所有不自己刮脸的人刮脸。”
那么理发师是否给自己刮脸呢？
“书目悖论”是罗素悖论的另一种通俗表达形式。
内容是：一个图书馆要编纂一本书，
其内容是列出该图书馆里所有不列出自己
书名的书的名字。
那么作为目录的书该不该列出自己的书名？
2
悖论
我们先看下百科解释
也即同一命题，
从不同角度推理，
却能得到两个相反的结论.
我们今天介绍三个不同角度的悖论。
准备好了吗？
LET'S GO
3
巴拿赫-塔斯基悖论
这个悖论其实是个定理，
可以叫作“分球悖论”，
旨在推翻“选择公理”.
先介绍“选择公理”
选择公理
设C为一个由非空集合所组成的集合。
那么，我们可以从每一个在C中的集合中，
都选择一个元素和其所在的集合配成有序对来组成一个新的集合。
上面的解释晦涩难懂，
它还有较为数字化的解释：
如果C为{1，2，3，…}的所有非空子集的集合，
那么，我们可以定义一个新集合，
使得它的元素为每一个在C中的集合的最小元素和所在集合配成的有序对.
如果还不能理解，
再看下面的例子：
如果在前面放了放置了几堆苹果。
那么，我们可以在每堆中选取一个苹果，
再把它们放在新的一堆内。
&
如果在前面放了放置了无限堆苹果，
而每堆苹果也有无限个。
那么，我们可以在每堆中选取一个苹果，
再把它们放在新的一堆内。
这个便是"选择公理"。
看来也很合理，
既然每一堆也是有苹果的，
当然可以在每一堆中选择一个苹果出来，
不论每堆的苹果数目的多少，堆数的多少，
"应该"也能做到。
但在这堆苹果中，
究竟选择那一个呢?
或许有人会说:"随便一个便可!"
但什么是"随便"呢?可否具体点陈述出来呢?
这个"随便"的方法是否必然存在呢?
也就是说，
“选择公理”是存在争议的，
其中一个就是上面提到的
巴拿赫-塔斯基悖论
是在1924年，
由两位波兰数学家巴拿赫和塔斯基提出的。
定理指出：
我们有办法将球体的一个数字表征拆成许多碎片，
然后再用这些碎片组合出与原球体一样大小的两个球！
甚至，我们还可以把一个豌豆大小的球体分解后
重组成一个跟月亮一样大的球体！
另一位数学家罗宾森
在1947年证明五片是组成球体的最低碎片的数量.
是不是觉得不可思议？
绝对不能从普通的角度去理解，
要从集合、映射、不同空间等等的角度去理解.
这项悖论显示的是我们在现实环境中
测量的物体的特性，
比如一颗球，
一旦被数学家们按照定义分解为无限的点的集合，
再采用转换、旋转、平移等等方式重新组合后，
就可能变成另一个截然不同的物体.
这与“选择公理”是不同的，
虽然这个定理来源于“选择公理”，
以致于人们怀疑“选择公理”是否正确？
然而，
尴尬的是，
“选择公理”在很多数学分支上是非常好用的，
很多数学家往往不动声色地，
继续使用它.
4
希尔伯特旅馆悖论
发现自由落体规律的伽利略
曾经提出个困扰他的问题：
自然数和完全平方数，哪个数量多？
通常情况下，
整体数量是大于部分的，
完全平方数是自然数的一部分，
很明显，
自然数比完全平方数要多，
可是我们发现：
1→1
2→4
3→9
4→16
……
每个完全平方数都与一个特定的自然数一一对应着，
那不就是一样多了吗？
这个问题直到200年后才由康托尔解决.
他从基本概念入手，什么是一样多？
只要两个事物之间存在一一对应的关系，
那么这两个事物数量就是一样的，
换成集合语言是：两个集合中的元素存在一一对应，
那么这两个集合就相等.
另一位数学家希尔伯特也对无穷特别感兴趣！
于是，
希尔伯特悖论登场了！
这是一个包租婆的故事……
实际生活中的旅馆，
无论多么大，无论有多少房间，
一旦住满了，再来客人只能拒之门外了，
客人们只有去别的旅馆入住了。
那么试想一下，
如果有一家旅馆，有无穷多的房间，
房间的号码从1,2,3,4……排列，
用尽了自然数.
现在客人住满了，又来了一位，怎么办呢？
希尔伯特说：可以解决。
1号房间的客人去2号放间，
2号房间的客人去3号，
3号房间的客人去4号，……
依次类推，1号房间就空出来了.
原来的客人也都有地方入住了.
这个事情后来有了很多的演绎.
现在如果来看一批无穷多的旅客！
希尔伯特仍然可以妥善安排。
老住户都进偶数号房，
1号去2号，2号去4号，3号去6号，4号去8号……
奇数号房间空出来了，
新住户都进奇数号房.
就是新来的客人和自然数一样多，
仍然住得下.
所以，无穷个房间和有限个房间就是这样的不同，
可以说，
无论多少个旅客在希尔伯特的旅馆里都能得到房间休息
5
0.99999……=1吗？
循环小数
0.9999……=1吗？
证明方法1
设0.999……=x，
则9.999……=10x，
可得：9=10x-x，
解得：x=1，
即0.9999……=1
从数学方法及逻辑上，
这种方法是没有丝毫问题的，
我们得到结论
0.9999……=1！
证明方法2
设0.999……中有m个9，
当m=1时，得0.9≠1，
当m=2时，得0.99≠1，
当m=3时，得0.999≠1，
……
当m=+∞时，得0.999……≠1，
即0.9999……≠1
用数学归纳法的方法，
我们得到结论：
0.9999……≠1！
这两种方法都是现代数学中严谨的证明，
应该都是无懈可击的，
而得到的结论却是截然相反的！
不要惧怕出现悖论，
出现悖论是好事！因为：
每一个悖论的产生将推动数学前进！
文章首发于公号【趣味数学故事】
