周朝的天文数字之基点

一

“昔者荣方问于陈子，曰：今者窃闻夫子之道，知日之高大、光之所照、一日所行、远近之数、人所望见、四极之穷、列星之宿、天地之广袤。夫子之道，皆能知之，其信有之乎？

陈子曰：然。

荣方曰：方虽不省，愿夫子幸而说之。今若方者，可教此道邪？

陈子曰：然，此皆算术之所及。子之于算，足以知此矣，若诚累思之。

于是，荣方归而思之。数日不能得，复见陈子，曰：方思之不能得，敢请问之？

陈子曰：思之未熟，此亦望远起高之术而子不能得。子之于数未能通类，是智有所不及而神有所穷。

夫道术言约而用博者，智类之明。问一类而以万事达者，谓之知道。今子所学算数之术是用智矣，而尚有所难，是子之智类单。　

夫道术所以难通者，既学矣患其不博，既博矣患其不习，既习矣患其不能知。故同术相学、同事相观，此列士之愚智，贤不肖之所分。是故，能类以合类，此贤者业精习智之质也。

夫学同业而不能入神者，此不肖无智而业不能精习。是故，算不能精习，吾岂以道隐子哉！固复熟思之。

荣方复归思之。数日不能得，复见陈子，曰：方思之以精熟矣。智有所不及而神有所穷，知不能得，愿终请说之。

陈子曰：复坐，吾语汝。

于是，荣方复坐而请陈子说之。曰：夏至南万六千里，冬至南十三万五千里。日中立竿测影，此一者天道之数。”

上文，头－段，点出周朝所关注的、并计算出的几个天文数字。尾一段，给出两个基础数。一个是夏至那天中午测日影求得的，一个是冬至那天中午测日影求得的。同一种操作，有同样结果，即立竿之地到日下的直线距离。

二

怎么测得？陈子接续有话。“周髀长八尺，夏至之日晷一尺六寸。髀者股也，正晷者句也，正南千里句一尺五寸，正北千里句一尺七寸。”

其意：沿着一条南北方向的直线，选三个点，两边点到中间点的距离均一千里，立同样八尺竿，夏至正午的日影，差一千里而差一寸。据此认定：日晷一寸，相当实际距离一千里。

陈子继续说道，“日益表南，晷日益长。候句六尺，即取竹空径一寸、长八尺，捕影而视之，空正掩日而日应空之孔。由此观之，率八十寸而得径一寸。”

其意：过了中午，太阳向竿的南面移动，晷越来越长。准备好一个内径为一寸、长八尺的竹筒。晷到六尺之时，太阳光穿孔落地正好成圆，据此认定：实际一寸径，相当光影径八十寸。

“故以句为首，以髀为股，从髀至日下六万里。而髀无影，从此以上至日则八万里。若求邪至日者，以日下为句，日高为股，句股各自乘，并而开方除之，得邪至日。从髀所旁至日所十万里。以率率之，八十里得径一里，十万里得径千二百五十里。故曰，日晷径千二百五十里。”此段，作图示意：

小直角三角形，为髀晷构成。大直角三角形，求“日之高大”的设计而成。由相似三角形对应边长成比例，有如下“日高”算式：

  ｛（8×10）x1000｝÷1000 = 8（万里）

日大，指光影落地所成圆，用“日晷径”表示，有如下算式：

      （10×10000）÷80 = 1250（里）

三

接上文，有一张“日高图”。从书的排版来看，并非赵婴绘制。此图不是用于求日高，反倒是借用已知日高八万里，将底衬单元格的边长，固定为九分之四。这样，测算山高等，按实际的髀高、晷长及两髀间距，在“日高图”上，利用矩而画形，即可得出实际高度。可以说，“日高图”乃计算工具示意图。

图中，甲字单元格组成合矩——以为方，乙字单元格组成偃矩——以望高，戊字单元格组成卧矩——以知远。至于两条斜线，与日下垂线、底边成两个直角三角形。基于此，可推导出所隐含的测高公试。见下图形：

两髀同长，为h；前髀的晷长为a，后髀的晷长为b；两髀间距为c。所求高，设为x。由髀构成的两个小三角形，与各自所在的大三角形，为相似三角形，故有等式：

                    a／h＝底边／x

            b／h＝（底边-a-c＋b）／x

等号两边项各自相减，整理后，得到求高公式：

                x＝hc／（a-b）＋h

用文字表述，就是：所求高等于髀长乘两髀间距，除以前晷长减后晷长，再加髀长。