指数可以是非正数吗？

在初中阶段，我们学习了乘方运算。我们知道a个n相乘可以表示为a^n。但是在初中，数学老师告诉我们，这里的n只能是非负数，但是如果超前探索的话，n可以是负数或者零吗？

在探究这个问题之前，我们先要搞清楚一个事情，那就是同底数幂相乘。同底数幂相乘，就是指两个乘方做乘法运算，而两个乘方的底数相等。比如说a^n×a^m就是一个同底数幂相乘。而同底数幂相乘，可以换一个表达方式，想这样：a^n×a^m＝a^n＋m这是为什么呢？用乘方的孩子都可以清楚地表达。a^n×a^m，其实可以表达为a×…×a（n个a）×a×…×a（m个a）那这样看的话，一共是有多少个a相乘呢？就是n＋m个。而n＋m个a相乘就可以表示为a^n＋m。

既然有同底数幂相乘，那么有没有同底数幂相除呢？有的，我们依然用乘方的含义解释。a^n÷a^m可以换一种方式表达成：a×…×a(n个a)÷(a×…×a(m个a）)如果把中间的那个除号换成乘号的话，可以这样表示：a×…×a(n个a)×1/a×…×a(m个a）而这样的话，其实a和a就可以抵消了。抵消完后就只剩下n－m个a了，可以得出这样的式子：a^n÷a^m＝a^n－m

如果以上式子成立的话，那么就可以推到出一个很有意思的事情。

如果按照上边的理论，那么a^n÷a^n＝a^n－n＝a^0而a^n÷a^n＝1这就有意思了，a^n÷a^n＝a^0＝1说明什么？说明任何数的非0有理数的0次方都等于0。为什么是非0有理数的0次方呢？因为0不可以做除数。

那么一个数的负数次方呢？你如a^－n（其中n＞0）其实a^－n可以理解为a^0－n而根据上面得出的结论，可以推出a^0－n＝a^0÷a^n这其实就是同底数幂相除的逆运算。而我们一知道a^0＝1，所以a^0÷a^n＝1÷a^n也就是a^n的倒数。哦?就可以得出结论一个数是可以有负数次方的，并且：a^－n＝1/a^n

如果你认同同底数幂相除的结论的话，那其实你也就认同了，指数可以是非正负数。

其实在证明指数可不可是非正数时，并没有用到什么新的知识，不过是把乘方的含义稍加转换并且在逻辑中推导出来的。但是关于指数的探索并没有停止，比如说还可以探索指数可不可以是小数，数学的探索从未停止过。