三角之目：2015年理数天津卷题15

2022-05-28 本文已影响0人易水樵

已知函数 $f(x)=\sin^2x-\sin^2(x-\dfrac{\pi}{6}),\;x \in \boldsymbol{R}.$

（Ⅰ）求 $f(x)$ 的最小正周期；

（Ⅱ）求 $f(x)$ 在区间 $[-\dfrac{\pi}{3}, \dfrac{\pi}{4}]$ 上的最大值和最小值.

【解答问题Ⅰ：思路一】

$\sin^2x=\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2} \cos 2x$ ,

$\sin^2(x-\dfrac{\pi}{2})= \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2} \cos (2x-\dfrac{\pi}{3})$ ,

∴ $f(x) = \dfrac{1}{2}[ \cos (2x-\dfrac{\pi}{3}) - \cos 2x ]$

$= - \sin(2x-\dfrac{\pi}{6}) \sin (-\dfrac{\pi}{6})$

∴ $f(x) = \dfrac{1}{2}\sin(2x-\dfrac{\pi}{6})$

$f(x)$ 的最小正周期为 $\pi$ .

【解答问题Ⅰ：思路二】

$\sin x + \sin(x-\dfrac{\pi}{6}) = 2 \sin(x-\dfrac{\pi}{12}) \cos\dfrac{\pi}{12}$

$\sin x - \sin(x-\dfrac{\pi}{6}) = 2 \cos(x-\dfrac{\pi}{12}) \sin\dfrac{\pi}{12}$

$f(x)= [\sin x + \sin(x-\dfrac{\pi}{6})] \cdot [\sin x - \sin(x-\dfrac{\pi}{6})]$

$=2\sin(x-\dfrac{\pi}{12})\cos(x-\dfrac{\pi}{12}) \cdot 2 \sin\dfrac{\pi}{12}\cos\dfrac{\pi}{12}$

$= \sin(2x-\dfrac{\pi}{6}) \sin (\dfrac{\pi}{6})$

∴ $f(x) = \dfrac{1}{2}\sin(2x-\dfrac{\pi}{6})$

$f(x)$ 的最小正周期为 $\pi$ .

【解答问题Ⅱ】

令 $\theta = 2x-\dfrac{\pi}{6}$ , 则

$-\dfrac{\pi}{3} \leqslant x \leqslant - \dfrac{\pi}{6}, -\dfrac{5\pi}{6}\leqslant \theta \leqslant -\dfrac{\pi}{2}$ , 函数 $f(x)$ 单调递减，

$-\dfrac{1}{2}\geqslant \sin\theta \geqslant -1$ , $-\dfrac{1}{4} \geqslant f(x) \geqslant -\dfrac{1}{2}$ ;

$-\dfrac{\pi}{6} \leqslant x \leqslant \dfrac{\pi}{4}, -\dfrac{\pi}{2}\leqslant \theta\leqslant\dfrac{\pi}{3}$ , 函数 $f(x)$ 单调递增，

$-\dfrac{1}{2} \leqslant \sin\theta \leqslant \dfrac{\sqrt{3}}{4}$ , $-\dfrac{1}{2} \leqslant f(x) \leqslant \dfrac{\sqrt{3}}{4}$ ;

综上所述，在区间 $[-\dfrac{\pi}{3}, \dfrac{\pi}{4}]$ 上， $f(x)$ 的最大值为 $\dfrac{\sqrt{3}}{4}$ ；最小值为 $-\dfrac{1}{2}$ .

【提炼与提高】

本题并没有用到高深的知识和复杂的技巧，但是要想拿全分数也并不容易。

我们把本题涉及的公式罗列如下：

$\sin^2\theta=\dfrac{1-\cos2\theta}{2}$

$\cos A - \cos B = -2 \sin\dfrac{A+B}{2}\sin\dfrac{A-B}{2}$

$\sin A + \sin B = 2 \sin\dfrac{A+B}{2}\cos\dfrac{A-B}{2}$

$\sin A - \sin B = 2 \cos\dfrac{A+B}{2}\sin\dfrac{A-B}{2}$

$2\sin\theta\cos\theta=\sin2\theta$

以上公式中，有时需要加负号；有时需要乘以 $2$ 或者 $\dfrac{1}{2}$ . 相当一部分考生会在这些问题上出现混淆.

解决的办法有三个方面：一是要熟悉公式的推导，要确保自己能够流畅地写出公式的推导过程，千万不要孤立地 “背公式”；二是要实际演算一批真题，数量不必太多，可以多练几遍，确保流畅；其三是注意书写规范，万一计算错误，还可以拿到过程分.

关于函数的周期，请牢记如下公式：函数 $f(x)=\sin(\omega x + \varphi)$ 的最小正周期 $T=\dfrac{2\pi}{\omega}$ .

关于正弦函数的单调性，可以结合单位圆记忆.