近代数学的兴起

文艺复兴时期的数学发展是艺术家作为先锋，他们基于艺术创作的实践，对数学也有些独到的见解，但还远不能算是数学的复兴。话说回来，经历了漫长的1000余年的沉寂，文艺复兴是个好的开始，到16世纪数学开始在欧洲复兴，近代数学开始了空前的蓬勃发展。此时的欧洲人就像古希腊人一样，充满了对理性的崇尚、对大自然的美充满好奇，再次将数学和哲学紧密联系。不同的是，古希腊的数学成就都集中在几何学，而近代数学的复兴和崛起则开始于代数学，但欧几里得几何公理化的思路被延续了下来。代数学的发展，开始于解方程，当时的主要成就是三次和四次代数方程的求解以及代数的符号化。对于一元二次方程求根问题，早在印度的婆罗摩笈多给出了一元二次方程的一个根的求根公式；花拉子密则最先意识到二次方程有两个根，只是他舍弃了负根和零根。

阿拉伯帝国时期的阿拔斯王朝，有个伟大的数学家叫花拉子密，他的著作《代数学》被译成了拉丁文，在欧洲广为流传并长时间用作教材。因为欧洲在这之前是没有多少代数学成果的，文艺复兴时期，经过了翻译时代和以斐波那契为代表的东西方交流，使得代数学走进了欧洲人的视野。当时三次和四次的代数方程求解问题，是他们那个时代最大的挑战。以意大利人塔尔塔利亚和卡尔达诺对这类问题的解答，拉开了近代数学的大幕。

塔尔塔利亚给出了没有一次项或二次项的两类三次方程的求解问题。塔尔塔利亚所解方程：
接下来简单说明一下塔尔塔利亚的解法，首先考虑恒等式选择恰当的使得
求出上述方程的后，就是方程的解。而方程组的解如下
这就是卡尔达诺公式。

塔尔塔利亚与数序爱好者卡尔达诺(本职是医生)沟通交流后，把解法告诉了卡尔达诺，几年后卡尔达诺出版了《大术》，书中收录了塔尔塔利亚关于三次方程的解法，尽管他在书中说明了解法来自塔尔塔利亚，还是引发了一场激战。这在接下来的数学发展中，时常发生争论。比如牛顿与莱布尼茨的微积分争论，高斯也多次陷入争论等等。言归正传，卡尔达诺在《大术》中，补充了的情形，给出了完整的解答。对于缺少一次项的那个非常，他给出了变换方法，使方程转化为上述情形。《大术》还收录了四次代数方程的一般解法：把四次方程转化为三次方程，然后再解三次方程。只是解法同样不是卡尔达诺给出的，而是他的仆人费劳里，他是首位破解四次方程的数学家。

插一个重要的事件：在三次和四次代数方程的求解问题取得进展后，大约250多年的时间里，人们都在努力解决更高次方程解的问题。直至挪威的年轻数学家阿贝尔发表《一元五次方程没有代数一般解》，人们停止了寻求高于四次的方程解析解或根式解的尝试和努力。这个思路也被用到了微分方程上，在1841年，法国数学家刘维尔(Liouville)证明了里卡迪(Riccati)方程
在某些特殊类型之外，是无法通过初等积分法求得通解的。这促进了人们逐渐放弃了求微分方程通解的努力，转而求微分方程的数值解。

塔尔塔利亚和费拉里有着出色的能力，解决了当时的老大难问题，而卡尔达诺整理汇总了他们的成果。这一幕是不是似曾相识，没错，历史就是这么惊人的相似。同样是在数学领域，古希腊时期的欧几里得同样汇总整理了当时的数学成果，完成《几何原本》。毫无疑问地，我们的科学发展需要卡尔达诺这种欧几里得式的人物。貌似韦达也是这种欧几里得式的人物，对于一元二次方程
韦达给出了根与系数关系的韦达公式和方程根的判别定理
更重要的是，韦达在丢番图的著作中获得灵感，首次引进了系统的代数符号，也因此被称为现代代数符号之父。不要小看数学符号，其引入所发挥的威力是非常巨大的。

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